Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Приближенное вычисление определенного интеграла

Пусть требуется найти определенный интеграл \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}, причем функция y=f\left( x \right) считается непрерывной на отрезке \left[ a;\ b \right]. Если от подынтегральной функции f\left( x \right) первообразная F\left( x \right) находится легко, то значение рассматриваемого интеграла находится по формуле Ньютона-Лейбница:

    \[\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=F\left( b \right)-F\left( a \right)\]

Но не в каждом случае отыскание первообразной для подынтегральной функции является достаточно простым, а также не для всякой непрерывной функции существует первообразная, выражающаяся через элементарные функции. В подобных случаях применяют приближенные формулы, которые позволяют вычислить определенный интеграл с любой степенью точности.

Наиболее часто используются три формулы приближенного вычисления определенного интеграла – формула прямоугольников, формула трапеций и формулу парабол или формула Симпсона, основанные на геометрическом смысле определенного интеграла: если функция y=f\left( x \right) непрерывна и положительна на отрезке \left[ a;\ b \right], то определенный интеграл \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx} представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=0, x=a, x=b и y=f\left( x \right) (рис. 1).

1. Формула прямоугольников

Пусть на отрезке \left[ a;\ b \right] задана непрерывная функция y=f\left( x \right). Вычислим численно определенный интеграл \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}, который равен площади криволинейной трапеции.

Разобьем основание этой трапеции (отрезок \left[ a;\ b \right]) на n равных частей-отрезков длины

    \[h=\frac{b-a}{n}={{x}_{i}}-{{x}_{i-1}}\]

Величину h будем называть шагом разбиения. В результате получим точки

    \[{{x}_{0}}=a<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}<...<{{x}_{n-1}}<{{x}_{n}}=b\]

Можно записать, что

    \[{{x}_{i}}={{x}_{i-1}}+h={{x}_{0}}+h\cdot i,\ i=\overline{1;\ n}\]

В середине {{\xi }_{i}}=\frac{{{x}_{i-1}}+{{x}_{i}}}{2} каждого такого элементарного отрезка отметим точку \left( {{\xi }_{i}};\ {{y}_{i}}=f\left( {{\xi }_{i}} \right) \right). Приняв ординату этой точки за высоту, построим прямоугольник с площадью h\cdot {{y}_{i}} (рис. 2).

Тогда сумма площадей всех n прямоугольников равна площади ступенчатой фигуры, которая представляет собой приближенное значение искомого определенного интеграла \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}:

    \[\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\approx h\cdot \left( {{y}_{1}}+{{y}_{2}}+...+{{y}_{n}} \right)=\frac{b-a}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{y}_{i}}}=\frac{b-a}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{f\left( {{\xi }_{i}} \right)}=\frac{b-a}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{f\left( \frac{{{x}_{i-1}}+{{x}_{i}}}{2} \right)}\]

Полученная формула называется формулой прямоугольников.

Абсолютная погрешность последнего приближенного равенства удовлетворяет следующей оценке:

    \[\left| {{R}_{n}} \right|\le \frac{{{\left( b-a \right)}^{3}}{{M}_{2}}}{24{{n}^{2}}}\]

где {{M}_{2}} – наибольшее значение \left| {f}''\left( x \right) \right| на рассматриваемом отрезке \left[ a;\ b \right].

ПРИМЕР 1
Задание Приближенно найти значение интеграла с помощью формулы прямоугольников, разбив отрезок интегрирования \left[ 0;\ 2 \right] на четыре части.

    \[\int\limits_{0}^{2}{{{x}^{3}}dx}\]

Решение В данном случае подынтегральная f\left( x \right)={{x}^{3}}. Разобьем отрезок \left[ 0;\ 2 \right] на n=4 равных частей длины

    \[h=\frac{2-0}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0,5\]

В результате получим точки

    \[{{x}_{0}}=0<{{x}_{1}}=0,5<{{x}_{2}}=1<{{x}_{3}}=1,5<{{x}_{4}}=2\]

и частичные отрезки \left[ {{x}_{0}};\ {{x}_{1}} \right]=\left[ 0;\ 0,5 \right], \left[ {{x}_{1}};\ {{x}_{2}} \right]=\left[ 0,5;\ 1 \right], \left[ {{x}_{2}};\ {{x}_{3}} \right]=\left[ 1;\ 1,5 \right] и \left[ {{x}_{3}};\ {{x}_{4}} \right]=\left[ 1,5;\ 2 \right]. Середины этих отрезков соответственно равны

    \[{{\xi }_{1}}=\frac{{{x}_{0}}+{{x}_{1}}}{2}=\frac{0+0,5}{2}=0,25; \qquad {{\xi }_{2}}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}=\frac{0,5+1}{2}=0,75\]

    \[{{\xi }_{3}}=\frac{{{x}_{2}}+{{x}_{3}}}{2}=\frac{1+1,5}{2}=1,25; \qquad {{\xi }_{4}}=\frac{{{x}_{3}}+{{x}_{4}}}{2}=\frac{1,5+2}{2}=1,75\]

Находим соответствующие им ординаты функции:

    \[{{y}_{1}}=f\left( {{\xi }_{1}} \right)=f\left( 0,25 \right)=0,{{25}^{3}}=0,0\text{15625}\]

    \[{{y}_{2}}=f\left( {{\xi }_{2}} \right)=f\left( 0,75 \right)=0,{{75}^{3}}=0,\text{421875}\]

    \[{{y}_{3}}=f\left( {{\xi }_{3}} \right)=f\left( 1,25 \right)=1,{{25}^{3}}=\text{1,953125}\]

    \[{{y}_{4}}=f\left( {{\xi }_{4}} \right)=f\left( 1,75 \right)=1,{{75}^{3}}=\text{5,359375}\]

Тогда, согласно формуле прямоугольников, будем иметь:

    \[\int\limits_{0}^{2}{{{x}^{3}}dx}\approx 0,5\cdot \left( 0,015625+0,421875+1,953125+\text{5,359375} \right)=0,5\cdot 7,75=3,875\]

Ответ

2. Формула трапеций

Эту формулу получают аналогично формуле прямоугольников: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной.

Пусть необходимо вычислить определенный интеграл \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}. Разобьем отрезок интегрирования \left[ a;\ b \right] на n равных частей длины h=\frac{b-a}{n}. В результате получим точки {{x}_{0}}=a<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}<...<{{x}_{n-1}}<{{x}_{n}}=b (рис. 3). Пусть {{y}_{0}};\ {{y}_{1}},...,\ {{y}_{n}} – соответствующие им ординаты функции. Тогда можно записать, что

    \[{{x}_{i}}={{x}_{0}}+h\cdot i, \qquad {{y}_{i}}=f\left( {{x}_{i}} \right), \qquad i=\overline{1;n}\]

Заменим кривую y=f\left( x \right) ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат {{y}_{i}} и {{y}_{i+1}} \left( i=\overline{0;\ n} \right). Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями {{y}_{i}}, {{y}_{i+1}} и высотой h=\frac{b-a}{n}, то есть

    \[\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\approx h\cdot \left( \frac{{{y}_{0}}+{{y}_{1}}}{2}+\frac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}}{2}+...+\frac{{{y}_{n-1}}+{{y}_{n}}}{2} \right)=\]

    \[=\frac{b-a}{n}\left( \frac{{{y}_{0}}+{{y}_{n}}}{2}+{{y}_{1}}+{{y}_{2}}+...+{{y}_{n-1}} \right)\]

Записанная формула называется формулой трапеций.

Абсолютная погрешность {{R}_{n}}

    \[\left| {{R}_{n}} \right|\le \frac{{{\left( b-a \right)}^{3}}\cdot {{M}_{2}}}{12{{n}^{2}}}\]

где {{M}_{2}}=\underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\max }}\,\left| {f}''\left( x \right) \right|.

ПРИМЕР 2
Задание Приближенно вычислить интеграла с помощью формулы трапеций, разбив отрезок интегрирования \left[ 0;\ 2 \right] на четыре части.

    \[\int\limits_{0}^{2}{{{x}^{3}}dx}\]

Решение Подынтегральная f\left( x \right)={{x}^{3}}. Разбив отрезок интегрирования \left[ 0;\ 2 \right] на n=4 равных частей длины

    \[h=\frac{2-0}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0,5\]

получим точки

    \[{{x}_{0}}=0<{{x}_{1}}=0,5<{{x}_{2}}=1<{{x}_{3}}=1,5<{{x}_{4}}=2\]

Соответствующие им ординаты

    \[{{y}_{0}}=f\left( {{x}_{0}} \right)=f\left( 0 \right)={{0}^{3}}=0; \qquad {{y}_{1}}=f\left( {{x}_{1}} \right)=f\left( 0,5 \right)=0,{{5}^{3}}=0,125\]

    \[{{y}_{2}}=f\left( {{x}_{2}} \right)=f\left( 1 \right)={{1}^{3}}=1; \qquad {{y}_{3}}=f\left( {{x}_{3}} \right)=f\left( 1,5 \right)=1,{{5}^{3}}=3,375\]

    \[{{y}_{4}}=f\left( {{x}_{4}} \right)=f\left( 2 \right)={{2}^{3}}=8\]

Тогда, согласно формуле трапеций, получаем:

    \[\int\limits_{0}^{2}{{{x}^{3}}dx}\approx h\left( \frac{{{y}_{0}}+{{y}_{4}}}{2}+{{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}} \right)=0,5\cdot \left( \frac{0+8}{2}+0,125+1+3,375 \right)=\]

    \[=0,5\cdot 8,5=4,25\]

Ответ

3. Формула парабол (Симпсона)

Если заменить график функции y=f\left( x \right) на каждом отрезке \left[ {{x}_{i-1}};\ {{x}_{i}} \right], которые получены после разбиения отрезка интегрирования \left[ a;\ b \right] на 2n равных частей, не отрезками прямых, как в методах трапеций и прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного вычисления определенного интеграла \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}.

Как было сказано выше, разобьем отрезок \left[ a;\ b \right] на 2n равных частей (отрезков) длиной h=\frac{b-a}{n} точками

    \[{{x}_{0}}=a<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}<...<{{x}_{n}}<...<{{x}_{2n-1}}<{{x}_{2n}}=b\]

причем {{x}_{i}}={{x}_{0}}+h\cdot i, i=\overline{1;n}. В точках разбиения находим значения подынтегральной функции y=f\left( x \right)

    \[{{y}_{0}}=f\left( {{x}_{0}} \right),\ {{y}_{1}}=f\left( {{x}_{1}} \right),...,\ {{y}_{2n}}=f\left( {{x}_{2n}} \right)\]

то есть {{y}_{i}}=f\left( {{x}_{i}} \right),\ i=\overline{0;\ 2n} (рис. 4).

Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями h одной элементарной параболической трапецией с основанием 2h. Тогда, например, на частичном отрезке \left[ {{x}_{0}};\ {{x}_{2}} \right] парабола проходит через три точки \left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}} \right), \left( {{x}_{1}};\ {{y}_{1}} \right), \left( {{x}_{2}};\ {{y}_{2}} \right) и так далее.

Расчетная формула парабол (или Симпсона) для этого метода имеет вид:

    \[\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\approx \frac{h}{3}\left( {{y}_{0}}+4{{y}_{1}}+2{{y}_{2}}+...+2{{y}_{2n-2}}+4{{y}_{2n-1}}+{{y}_{2n}} \right)=\]

    \[=\frac{b-a}{6n}\left[ \left( {{y}_{0}}+{{y}_{2n}} \right)+4\left( {{y}_{1}}+{{y}_{3}}+...+{{y}_{2n-1}} \right)+2\left( {{y}_{2}}+{{y}_{4}}+...+{{y}_{2n-2}} \right) \right]\]

Абсолютная погрешность вычисления по этой формуле оценивается соотношением

    \[\left| {{R}_{n}} \right|\le \frac{{{\left( b-a \right)}^{5}}\cdot {{M}_{4}}}{180{{\left( 2n \right)}^{4}}}\]

где {{M}_{2}}=\underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\max }}\,\left| {{f}^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) \right|.

ПРИМЕР 3
Задание Вычислить интеграл по формуле Симпсона, разбив отрезок интегрирования на четыре части.

    \[\int\limits_{0}^{2}{{{x}^{3}}dx}\]

Решение Имеем, что в этом случае f\left( x \right)={{x}^{3}}. Разбиваем отрезок интегрирования \left[ 0;\ 2 \right] на 2n=4 частей с шагом разбиения

    \[h=\frac{b-a}{2n}=\frac{2-0}{4}=\frac{1}{2}=0,5\]

Тогда получаем точки разбиения

    \[{{x}_{0}}=a=0<{{x}_{1}}=0,5<{{x}_{2}}=1<{{x}_{3}}=1,5<{{x}_{4}}=b=2\]

Соответствующие им значения функции:

    \[{{y}_{0}}=f\left( {{x}_{0}} \right)=f\left( 0 \right)={{0}^{3}}=0; \qquad {{y}_{1}}=f\left( {{x}_{1}} \right)=f\left( 0,5 \right)=0,{{5}^{3}}=0,125\]

    \[{{y}_{2}}=f\left( {{x}_{2}} \right)=f\left( 1 \right)={{1}^{3}}=1; \qquad {{y}_{3}}=f\left( {{x}_{3}} \right)=f\left( 1,5 \right)=1,{{5}^{3}}=3,375\]

    \[{{y}_{4}}=f\left( {{x}_{4}} \right)=f\left( 2 \right)={{2}^{3}}=8\]

Отсюда, согласно формуле парабол, имеем:

    \[\int\limits_{0}^{2}{{{x}^{3}}dx}\approx \frac{h}{3}\left[ \left( {{y}_{0}}+{{y}_{4}} \right)+4\left( {{y}_{1}}+{{y}_{3}} \right)+2{{y}_{2}} \right]=\frac{0,5}{3}\cdot \left( 0+8+4\cdot \left( 0,125+3,375 \right)+2\cdot 1 \right)=\]

    \[=\frac{0,5}{3}\cdot 24=0,5\cdot 8=4\]

Ответ