Физический смысл производной

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если положение точки при её движении задаётся функцией пути $s = f(t) ,$ где $t$ – время движения, то производная функции $s$ есть мгновенная скорость движения в момент времени $t :$

$v(t) = s'(t)$

Таким образом, скорость – есть производная от пути по времени.

ПРИМЕР 1

Задание

Материальная точка движется прямолинейно по закону $s(t) = 6t^2 - 48t + 7 .$ Найти ее скорость в момент времени $t = 9 .$

Решение

Найдем производную заданной функции:

$s'(t) = \left( 6t^2 - 48t + 7 \right)' = \left( 6t^2 \right)' - (48t)' + (7)' = 6 \cdot \left( t^2 \right)' - 48 \cdot (t)' + 0 =$

$= 6 \cdot 2t - 48 \cdot 1 = 12t - 48$

Согласно физическому смыслу имеем, что скорость движения рассматриваемой материальной точки

$v(t) = s'(t) = 12t - 48$

Скорость в заданный момент времени равна

$v(9) = 12 \cdot 9 - 48 = 60$

Ответ

$v(9) = 60$

ПРИМЕР 2

Задание

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = t^2 - 13t + 1 .$ В какой момент времени (в секундах) ее скорость будет равна 3 м/с?

Решение

Найдем скорость движения рассматриваемой материальной точки, согласно физическому смыслу производной, она равна производной от пути, то есть

$v(t) = x'(t) = \left( t^2 - 13t + 1 \right)' = \left( t^2 \right)' - (13t)' + (1)' = 2t - 13 \cdot (t)' + 0 =$

$= 2t - 13 \cdot 1 = 2t - 13$

По условию известно, что в некоторый момент времени $t_0$ скорость равна 3 м/с, то есть:

$v(t_0) = 2t_0 - 13 = 3$

Решим полученное уравнение относительно $t_0 :$

$2t_0 = 16 \text{ }\Rightarrow \text{ } t_0 = 8 \text{ }(c)$

Ответ

8 cек.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Физический смысл производной