Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Физический смысл производной

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если положение точки при её движении задаётся функцией пути s = f(t) , где t – время движения, то производная функции s есть мгновенная скорость движения в момент времени t :

    \[ 	v(t) = s'(t) 	\]

Таким образом, скорость – есть производная от пути по времени.

ПРИМЕР 1
Задание Материальная точка движется прямолинейно по закону s(t) = 6t^2 - 48t + 7 . Найти ее скорость в момент времени t = 9 .
Решение Найдем производную заданной функции:

    \[ 				s'(t) = \left( 6t^2 - 48t + 7 \right)' = \left( 6t^2 \right)' - (48t)' + (7)' = 6 \cdot \left( t^2 \right)' - 48 \cdot (t)' + 0 = 				\]

    \[ 				= 6 \cdot 2t - 48 \cdot 1 = 12t - 48 				\]

Согласно физическому смыслу имеем, что скорость движения рассматриваемой материальной точки

    \[ 				v(t) = s'(t) = 12t - 48 				\]

Скорость в заданный момент времени равна

    \[ 				v(9) = 12 \cdot 9 - 48 = 60 				\]

Ответ v(9) = 60
ПРИМЕР 2
Задание Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t^2 - 13t + 1 . В какой момент времени (в секундах) ее скорость будет равна 3 м/с?
Решение Найдем скорость движения рассматриваемой материальной точки, согласно физическому смыслу производной, она равна производной от пути, то есть

    \[ 				v(t) = x'(t) = \left( t^2 - 13t + 1 \right)' = \left( t^2 \right)' - (13t)' + (1)' = 2t - 13 \cdot (t)' + 0 = 				\]

    \[ 				= 2t - 13 \cdot 1 = 2t - 13 				\]

По условию известно, что в некоторый момент времени t_0 скорость равна 3 м/с, то есть:

    \[ 				v(t_0) = 2t_0 - 13 = 3 				\]

Решим полученное уравнение относительно t_0 :

    \[ 				2t_0 = 16 \text{ }\Rightarrow \text{ } t_0 = 8 \text{ }(c) 				\]

Ответ 8 cек.