Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Геометрический смысл дифференциала функции

Рассмотрим функцию y = f(x). Проведем к графику этой функции касательную MB в точке M(x ; y) и рассмотрим ординату этой касательной для точки x + \Delta x (рис. 1). На рисунке

    \[ AM = \Delta x\text{ } ; \text{ } AM_1 = \Delta y \]

Рисунок 1

Рассмотрим прямоугольный \Delta MAB . Тогда

    \[ \text{tg } \alpha = \frac{AB}{AM} = \frac {AB}{\Delta x} \text{ } \Rightarrow \text{ } AB = \Delta x \cdot \text{tg } \alpha \]

Согласно геометрическому смыслу производной, тангенс угла между касательной к графику функции y = f(x) и положительным направлением оси абсцисс равен производной этой функции:

    \[ \text{tg } \alpha = f'(x) \]

Следовательно,

    \[ AB = \Delta x \cdot f'(x) \]

Известно, что приращение независимой переменной равно дифференциалу этой переменной:

    \[ \Delta x = dx \]

Тогда

    \[ AB = f'(x)dx \]

По определению, дифференциал dy функции y = f(x) равен

    \[ dy = f'(x) dx \]

Сравнивая правые части последних двух равенств, делаем вывод, что равны и их левые части, то есть

    \[ AB = dy \]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Таким образом, геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получит приращение \Delta x .