Интеграл от натурального логарифма

$\int{\ln xdx}=x\ln x-x+C$

Формулу можно получить, применив метод интегрирования по частям $\int{udv}=uv-\int{vdu}$ к заданному интегралу:

$\int{\ln xdx}\ \left\| \begin{matrix} u=\ln x & dv=dx \\ du=\frac{dx}{x} & v=x \\ \end{matrix} \right\|=x\ln x-\int{x\cdot \frac{dx}{x}}=x\ln x-\int{dx}=x\ln x-x+C$

Примеры решения задач по теме «Интеграл натурального логарифма»

ПРИМЕР 1

Задание

Найти интеграл $\int{{{\pi }^{2}}\ln xdx}$

Решение

По свойствам интегралов, константу можно выносить за знак интеграла, то есть

$\int{{{\pi }^{2}}\ln xdx}={{\pi }^{2}}\int{\ln xdx}$

Далее, согласно формуле, имеем:

$\int{{{\pi }^{2}}\ln xdx}={{\pi }^{2}}\int{\ln xdx}={{\pi }^{2}}\left( x\ln x-x \right)+C$

Ответ

$\int{{{\pi }^{2}}\ln xdx}={{\pi }^{2}}\left( x\ln x-x \right)+C$

ПРИМЕР 2

Задание

Решить интеграл $\int{\ln \left( x+1 \right)dx}$

Решение

Сделаем замену переменных в заданном интеграле:

$\int{\ln \left( x+1 \right)dx}\ \left\| \begin{matrix} x+1=t \\ dx=dt \\ \end{matrix} \right\|=\int{\ln tdt}=t\ln t-t+C$

Возвращаемся к первоначальной переменной интегрирования $x ,$ получаем окончательно:

$\int{\ln \left( x+1 \right)dx}=\left( x+1 \right)\ln \left( x+1 \right)-x-1+C$

Ответ

$\int{\ln \left( x+1 \right)dx}=\left( x+1 \right)\ln \left( x+1 \right)-x-1+C$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Интеграл от натурального логарифма

Примеры решения задач по теме «Интеграл натурального логарифма»