Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Интеграл от натурального логарифма

    \[    \int{\ln xdx}=x\ln x-x+C \]

Формулу можно получить, применив метод интегрирования по частям \int{udv}=uv-\int{vdu} к заданному интегралу:

    \[\int{\ln xdx}\ \left\| \begin{matrix}    u=\ln x & dv=dx  \\    du=\frac{dx}{x} & v=x  \\ \end{matrix} \right\|=x\ln x-\int{x\cdot \frac{dx}{x}}=x\ln x-\int{dx}=x\ln x-x+C\]

Примеры решения задач по теме «Интеграл натурального логарифма»

ПРИМЕР 1
Задание Найти интеграл \int{{{\pi }^{2}}\ln xdx}
Решение По свойствам интегралов, константу можно выносить за знак интеграла, то есть

    \[\int{{{\pi }^{2}}\ln xdx}={{\pi }^{2}}\int{\ln xdx}\]

Далее, согласно формуле, имеем:

    \[\int{{{\pi }^{2}}\ln xdx}={{\pi }^{2}}\int{\ln xdx}={{\pi }^{2}}\left( x\ln x-x \right)+C\]

Ответ \int{{{\pi }^{2}}\ln xdx}={{\pi }^{2}}\left( x\ln x-x \right)+C
ПРИМЕР 2
Задание Решить интеграл \int{\ln \left( x+1 \right)dx}
Решение Сделаем замену переменных в заданном интеграле:

    \[\int{\ln \left( x+1 \right)dx}\ \left\| \begin{matrix} 				 x+1=t \\  				 dx=dt \\  				\end{matrix} \right\|=\int{\ln tdt}=t\ln t-t+C\]

Возвращаемся к первоначальной переменной интегрирования x , получаем окончательно:

    \[\int{\ln \left( x+1 \right)dx}=\left( x+1 \right)\ln \left( x+1 \right)-x-1+C\]

Ответ \int{\ln \left( x+1 \right)dx}=\left( x+1 \right)\ln \left( x+1 \right)-x-1+C