Неравенство Коши-Буняковского

Неравенство Коши-Буняковского и его следствие

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

$(a_{1} b_{1} +a_{2} b_{2} +...+a_{n} b_{n} )^{2} \le (a_{1}^{2} +a_{2}^{2} +...+a_{n}^{2} )(b_{1}^{2} +b_{2}^{2} +...+b_{n}^{2} ),$

где $a_{i} ,b_{i}$ — действительные числа.

Если наборы $\bar{a}=(a_{1} ,a_{2} ,...,a_{n} )$ и $\bar{b}=(b_{1} ,b_{2} ,...,b_{n} )$ рассматривать как координаты векторов $n$ -мерного евклидового пространства, то из неравенства Коши-Буняковского следует, что квадрат скалярного произведения двух векторов меньше либо равен произведению квадратов длин этих векторов

$(\bar{a},\bar{b})^{2} \le \left|\bar{a}\right|^{2} \left|\bar{b}\right|^{2} ,$

причем равенство достигается ли в том случае, когда векторы $\bar{a}$ и $\bar{b}$ коллинеарны.

Из неравенства Коши-Буняковского следует важное неравенство, которое называют неравенством треугольника:

$|\bar{a}+\bar{b}|\le |\bar{a}|+|\bar{b}|$

длина стороны треугольника меньше длин суммы двух других сторон.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Доказать неравенство Коши-Буняковского.

Доказательство

Рассмотрим вектор $\bar{a}+\lambda \bar{b}$ , где $\lambda \in R$ . Найдем скалярное произведение этого вектора на себя. Из свойств скалярного произведения следует, что

$(\bar{a}+\lambda \bar{b},\bar{a}+\lambda \bar{b})\ge 0$

Раскроем скобки

$(\bar{a},\bar{a})+\lambda (\bar{a},\bar{b})+\lambda (\bar{b},\bar{a})+\lambda ^{2} (\bar{b},\bar{b})\ge 0$ ?

$\lambda ^{2} (\bar{b},\bar{b})+2\lambda (\bar{a},\bar{b})+(\bar{a},\bar{a})\ge 0$

Получили квадратный трехчлен относительно $\lambda$ , который принимает неотрицательные значения. Такое возможно, когда его дискриминант неположителен, т.е. в случае, если

$(\bar{a},\bar{b})^{2} -(\bar{a},\bar{a})(\bar{b},\bar{b})\le 0\Rightarrow (\bar{a},\bar{b})^{2} \le (\bar{a},\bar{a})(\bar{b},\bar{b})\Rightarrow (\bar{a},\bar{b})^{2} \le \left|\bar{a}\right|^{2} \left|\bar{b}\right|^{2}$

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 2

Задание

Доказать неравенство треугольника $|\bar{a}+\bar{b}|\le |\bar{a}|+|\bar{b}|$

Доказательство

Рассмотрим векторы $\bar{a}$ и $\bar{b}$ . Найдем скалярный квадрат их суммы

$|\bar{a}+\bar{b}|^{2} =(\bar{a}+\bar{b},\bar{a}+\bar{b})=(\bar{a},\bar{a})+2\lambda (\bar{a},\bar{b})+(\bar{b},\bar{b})$

Из неравенства Коши-Буняковского следует, что $(\bar{a},\bar{b})\le |\bar{a}||\bar{b}|$ , поэтому

$(\bar{a},\bar{a})+2\lambda (\bar{a},\bar{b})+(\bar{b},\bar{b})\le (\bar{a},\bar{a})+2\lambda |\bar{a}||\bar{b}|+(\bar{b},\bar{b})=(|\bar{a}|+|\bar{b}|)^{2}$

Таким образом, мы доказали, что

$|\bar{a}+\bar{b}|^{2} \le (|\bar{a}|+|\bar{b}|)^{2}$

Что и требовалось доказать.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Неравенство Коши-Буняковского

Неравенство Коши-Буняковского и его следствие

Примеры решения задач