Скалярное произведение векторов

Определение и формула скалярного произведения векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Скалярным произведением $\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)$ (или $\bar{a}\cdot \bar{b}$ ) двух векторов $\bar{a}$ и $\bar{b}$ называется число, которое равно произведению модулей этих векторов на косинус угла $\alpha$ между ними:

$\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=\bar{a}\cdot \bar{b}=\left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|\cdot \cos \alpha$

Если векторы заданы своими координатами, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

$\bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} \right),\; \bar{b}=\left(b_{1} ,\; b_{2} \right)\Rightarrow \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=a_{1} \cdot b_{1} +a_{2} \cdot b_{2}$

ПРИМЕР

Задание	Вычислить скалярное произведение векторов $\bar{a}=\left(-1;\; 2;\; 3\right),\ \bar{b}=\left(2;\; 0;\; -1\right)$ .
Решение	Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат, то есть $\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=-1\cdot 2+2\cdot 0+3\cdot \left(-1\right)=-2+0-3=-5$
Ответ	$\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=-5$ .

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение вектора $\bar{a}$ самого на себя всегда больше или равно нуля:

$\bar{a}\cdot \bar{a}=\bar{a}^{2} =\left(\bar{a},\; \bar{a}\right)\ge 0$

Выражение $\bar{a}\cdot \bar{a}=\bar{a}^{2} =\left(\bar{a},\; \bar{a}\right)$ называется скалярным квадратом вектора $\bar{a}$ .

2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:

$\bar{a}\cdot \bar{a}=0\Leftrightarrow =\bar{a}=\bar{0}$

3. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

$\bar{a}\cdot \bar{a}=\bar{a}^{2} =\left|\bar{a}\right|^{2}$

4. Операция скалярного умножения коммуникативна:

$\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=\left(\bar{b},\; \bar{a}\right)$

5. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны (перпендикулярны):

$\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=0,\; \bar{a},\, \bar{b}\ne \bar{0}\Leftrightarrow \bar{a}\bot \bar{b}$

6. $\left(\lambda \bar{a},\; \bar{b}\right)=\lambda \cdot \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)$ .

7. Операция скалярного умножения дистрибутивна:

$\left(\bar{a}+\bar{b},\; \bar{c}\right)=\left(\bar{a},\; \bar{c}\right)+\left(\bar{b},\; \bar{c}\right)$

8. Если угол между векторами острый, то скалярное произведение этих векторов будет положительным числом (так как косинус острого угла – положительное число). Если угол между векторами тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (так как косинус тупого угла есть величина отрицательная). Имеют место и обратные утверждения.

9. Если векторы сонаправлены, то угол между ними будет равен $0^{\circ }$ , а скалярное произведение будет положительным. Угол между противоположно направленными векторами равен $180^{\circ }$ и их скалярное произведение отрицательно.

ПРИМЕР

Задание	Найти все значения $x$ , при которых векторы $\bar{a}=\left(x;\; -1\right)$ и $\bar{b}=\left(3;\; 2\right)$ будут ортогональны.
Решение	Два вектора будут ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение будет равно нулю. Вычислим скалярное произведение заданных векторов: $\bar{a}\cdot \bar{b}=x\cdot 3+\left(-1\right)\cdot 2=3x-2=0\Rightarrow 3x=2\Rightarrow x=\frac{2}{3}$
Ответ	$x=\frac{2}{3}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Скалярное произведение векторов

Определение и формула скалярного произведения векторов

Свойства скалярного произведения векторов