Дробно-рациональные неравенства и их решение

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Дробно-рациональным неравенством называется неравенство вида

$\frac{P(x)}{Q(x)} >0 (<,\le ,\ge )$

, где $P(x),\; Q(x)$ — многочлены.

Решаются дробно-рациональные неравенства следующим образом:

Находится область допустимых значений переменной $x$ (а именно, точки, в которых знаменатель обращается в ноль).
На числовой прямой отмечаются все точки, в которых дробь обращается в нуль или имеет разрыв. Эти точки разбивают прямую на интервалы.
На каждом из интервалов определяется знак дроби, и выбираются нужные интервалы.
Из полученного решения нужно исключаются точки, не входящие в область допустимых значений переменной $x$ .

Примеры решения дробно-рациональных неравенств

ПРИМЕР 1

Задание

Решить неравенство

$\frac{x-1}{x+3} \ge \frac{x+1}{x-3}$

Решение

Перенесем все члены неравенства в одну сторону и приведем к общему знаменателю

$\frac{x-1}{x+3} -\frac{x+1}{x-3} \ge 0\Leftrightarrow \frac{(x-1)(x-3)-(x+1)(x+3)}{(x+3)(x-3)} \ge 0\Leftrightarrow \frac{-8x}{(x+3)(x-3)} \ge 0$

Разделим полученное неравенство на $-8$ , поменяв при этом знак неравенства на противоположный:

$\frac{x}{(x+3)(x-3)} \le 0$

Дробь обращается в нуль в точке $x=0$ и имеет точки разрыва $x=3$ и $x=-3$ . Отметим эти точки на числовой прямой. Поскольку неравенство нестрогое, то $x=0$ будет включаться в решение, а значит точка, которая соответствует этому значению, будет закрашенной (рис. 1).

Выбираем промежутки отмеченные знаком «минус»: $x\in (-\infty ;-3)\bigcup [0;3)$ .

Ответ

$x\in (-\infty ;-3)\bigcup [0;3)$

ПРИМЕР 2

Задание

Решить неравенство

$\frac{x+2}{(x+1)(x-4)} -\frac{1}{(x-4)^{2} } <\frac{3x}{(x-4)(x+1)}$

Решение

ОДЗ: $x\ne -1,\; x\ne 4$ .Перенесем все члены в одну сторону неравенства и приведем к общему знаменателю

$\frac{x+2}{(x+1)(x-4)} -\frac{1}{(x-4)^{2} } -\frac{3x}{(x-4)(x+1)} <0\ \Leftrightarrow \ \frac{-2x^{2} +9x-9}{(x+1)(x-4)^{2} } <0$

Найдем нули числителя. Для этого приравняем его к нулю $-2x^{2} +9x-9=0$ . Найдем дискриминант и корни

$\ D=9^{2} -4(-2)(-9)=9,\ x_{1,2} =\frac{-9\pm 3}{-4} =3;\; \frac{3}{2}$

Теперь неравенство можно записать в виде

$\frac{-2x^{2} +9x-9}{(x+1)(x-4)^{2} } <0\ \Rightarrow \ \frac{-2(x-3)(x-\frac{3}{2} )}{(x+1)(x-4)^{2} } <0\ \Rightarrow \ \frac{(x-3)\left(x-\frac{3}{2} \right)}{(x+1)(x-4)^{2} } >0$

Решим полученное неравенство методом интервалов

Решение неравенства полученное методом интервалов

Решение заданного неравенства запишем в виде объединения промежутков:

$x\in (-1;1,5)\bigcup (3,4)\bigcup (4,+\infty )$

Ответ

$x\in (-1;1,5)\bigcup (3,4)\bigcup (4,+\infty )$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Дробно-рациональные неравенства и их решение

Примеры решения дробно-рациональных неравенств