Сложение векторов

Пусть заданы два ненулевых вектора $\bar{a}$ и $\bar{b}$ (рис. 1).

Правило треугольника для суммы векторов

Суммой векторов $\bar{a}$ и $\bar{b}$ есть некоторый третий вектор $\bar{c}$ , получаемый следующим образом: из конца вектора $\bar{a}$ откладываем вектор $\bar{b}$ , затем соединяем начало вектора $\bar{a}$ и конец вектора $\bar{b}$ ; полученный в результате вектор $\bar{c}$ и есть сумма указанных векторов (рис. 2).

Правило параллелограмма для суммы векторов

Если векторы $\bar{a}$ и $\bar{b}$ неколлинеарные векторы, то для нахождения суммы $\bar{a}+\bar{b}$ приводим эти векторы к общему началу и на них строим параллелограмм. Диагональ параллелограмма, имеющая с заданными векторами $\bar{a}$ и $\bar{b}$ общее начало, и будет суммой этих векторов (рис. 3).

Свойства операции сложения векторов

1. $\left|\bar{a}+\bar{b}\right|\le \left|\bar{a}\right|+\left|\bar{b}\right|$ .

2. $\left|\bar{a}+\bar{b}\right|\ge \left|\bar{a}\right|-\left|\bar{b}\right|$ .

3. Сумма противоположных векторов равна нулевому вектору:

$\bar{a}+\left(-\bar{a}\right)=\bar{0}$

4. $\bar{a}+\bar{b}=\bar{b}+\bar{a}$ .

Сложением или суммой $\bar{a}+\bar{b}$ векторов $\bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right)$ и $\bar{b}=\left(b_{1} ;\; b_{2} ;\; b_{3} \right)$ называется операция вычисления вектора $\bar{c}$ , все координаты которого равны сумме соответствующих координат векторов $\bar{a}$ и $\bar{b}$ , то есть

$\bar{c}=\bar{a}+\bar{b}=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;a_{3} \right)+\left(b_{1} ;\; b_{2} ;\; b_{3} \right)=\left(a_{1} +b_{1} ;\; a_{2} +b_{2} ;\; a_{3} +b_{3} \right)$

Примеры сложения векторов

ПРИМЕР 1

Задание	Найти сумму векторов $\bar{a}=\left(-3;\; 2\right)$ и $\bar{b}=\left(1;\; -4\right)$ .
Решение	Чтобы найти сумму указанных векторов к координатам вектора $\bar{a}$ прибавим соответствующие координаты вектора $\bar{b}$ : $\bar{a}+\bar{b}=\left(-3;\; 2\right)+\left(1;\; -4\right)=\left(-3+1;\; 2+\left(-4\right)\right)=\left(-2;\; -2\right)$
Ответ	$\bar{a}+\bar{b}=\left(-2;\; -2\right)$ .

ПРИМЕР 2

Задание

Доказать, что сумма противоположных векторов равна нулевому вектору.

Доказательство

Пусть вектор $\bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right)$ , тогда противоположный ему вектор $-\bar{a}$ имеет координаты

$-\bar{a}=-1\cdot \bar{a}=-\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right)=\left(-a_{1} ;\; -a_{2} ;\; -a_{3} \right)$

Найдем сумму этих векторов:

$\bar{a}+\left(-\bar{a}\right)=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right)+\left(-a_{1} ;\; -a_{2} ;\; -a_{3} \right)=$

$=\left(a_{1} +\left(-a_{1} \right);\; a_{2} +\left(-a_{2} \right);\; a_{3} +\left(-a_{3} \right)\right)=\left(0;\; 0;\; 0\right)=\bar{0}$

Что и требовалось доказать.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Сложение векторов

Правило треугольника для суммы векторов

Правило параллелограмма для суммы векторов

Свойства операции сложения векторов

Примеры сложения векторов