Теорема Коши

ТЕОРЕМА

Пусть $f(x)$ и $g(x)$ непрерывные функции на $[a, b]$ и дифференцируемы на отрезке $(a, b)$ . Пусть, кроме того, $g'(x) \neq 0$ для любого $x \in (a, b)$ Тогда существует точка $c \in (a, b)$ такая, что:

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$

Теорема Коши является обобщением теоремы Лагранжа, поэтому её так же называют обобщенной теоремой о среднем значении (в дифференциальном исчислении). Для получения формулы конечных приращений из формулы Коши следует в последней формуле положить $g(x)=x$ . Теорема Коши имеет такой же геометрический смысл, что и теорема Лагранжа.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Проверить, выполняется ли теорема Коши, для функций $f(x)=x^{2}-1$ и $g(x)=x+2$ на отрезке $[0, 1]$ .

Решение

Функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывные на отрезке $[0, 1]$ . Найдем их значение на концах этого отрезка

$f(0) = 0^{2}-1=-1 \text{ };\text{ } f(1) = 1^{2}-1=0 \text{ };\text{ } g(0)=0+2=2 \text{ };\text{ } g(1)=1+2=3$

Далее найдем производные этих функций: $f'(x)=2x$ ; $g'(x)=1 \neq 0$ для любого $x \in (0, 1)$ . По теореме Коши, существует точка $c \in (a, b)$ такая, что

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$

Действительно, подставляя найденные значения в последнее равенство, получим

$\frac{0-(-1)}{3-2} = \frac{2c}{1} \text{ } \Rightarrow \text{ } 2c= 1 \text{ } \Rightarrow \text{ }c = \frac{1}{2}$

Ответ

Для заданных функций теорема Коши выполняется, $c=\frac{1}{2}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Теорема Коши

Примеры решения задач