Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Теорема Коши

ТЕОРЕМА
Пусть f(x) и g(x) непрерывные функции на [a, b] и дифференцируемы на отрезке (a, b). Пусть, кроме того, g'(x) \neq 0 для любого x \in (a, b) Тогда существует точка c \in (a, b) такая, что:

    \[    \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} \]

Теорема Коши является обобщением теоремы Лагранжа, поэтому её так же называют обобщенной теоремой о среднем значении (в дифференциальном исчислении). Для получения формулы конечных приращений из формулы Коши следует в последней формуле положить g(x)=x. Теорема Коши имеет такой же геометрический смысл, что и теорема Лагранжа.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Проверить, выполняется ли теорема Коши, для функций f(x)=x^{2}-1 и g(x)=x+2 на отрезке [0, 1].
Решение Функции f(x) и g(x) непрерывные на отрезке [0, 1]. Найдем их значение на концах этого отрезка

    \[    f(0) = 0^{2}-1=-1 \text{ };\text{ } f(1) = 1^{2}-1=0 \text{ };\text{ } g(0)=0+2=2 \text{ };\text{ } g(1)=1+2=3 \]

Далее найдем производные этих функций: f'(x)=2x; g'(x)=1 \neq 0 для любого x \in (0, 1). По теореме Коши, существует точка c \in (a, b) такая, что

    \[    \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} \]

Действительно, подставляя найденные значения в последнее равенство, получим

    \[    \frac{0-(-1)}{3-2} = \frac{2c}{1} \text{ } \Rightarrow \text{ } 2c= 1 \text{ } \Rightarrow \text{ }c = \frac{1}{2} \]

Ответ Для заданных функций теорема Коши выполняется, c=\frac{1}{2}