Неравенство Чебышева

Неравенство Чебышева является объектом изучения теории вероятностей и математической статистики.

Рассмотрим некоторую случайную величину $X$ , которая может принимать значения $x_{1} ,x_{2} ,...,x_{n}$ с вероятностями $p_{1} ,p_{2} ,...,p_{n}$ соответственно. Это означает, что величина $X$ распределена по некоторому закону.

Среднее значение такой величины называют математическим ожиданием и обозначают $M(X )=x_{1} p_{1} +x_{2} p_{2} +...+x_{n} p_{n}$ .

Мера разброса случайной величины вокруг ее математического ожидания называют дисперсией. Дисперсию обозначают символом $D(x)$ и вычисляют по формуле $D(x)=M(x-Mx)^{2}$ .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Неравенство Чебышева: вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет меньше некоторого числа $\varepsilon$ не меньше, чем величина $1-\frac{D(x)}{\varepsilon ^{2} }$

$P(|X-M(X)|<\varepsilon )\ge 1-\frac{D(x)}{\varepsilon ^{2} }$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Случайная величина $X$ задана законом распределения

X	0	0,1	0,2
P	0,45	0,4	0,15

Оценить вероятность того, что $|X-M(X)|<0,8$ .

Решение

Найдем математическое ожидание и дисперсию величины $X$ :

$M(X)=x_{1} p_{1} +x_{2} p_{2} +x_{3} p_{3} =0\cdot 0,45+1\cdot 0,4+2\cdot 0,15=0,7$

$D(x)=M(x-Mx)^{2} =(0-0,7)^{2} \cdot 0,45+(1-0,7)^{2} \cdot 0,4+(2-0.7)^{2} \cdot 0,15=0,51$

В неравенство Чебышева $P(|X-M(X)|<\varepsilon )\ge 1-\frac{D(x)}{\varepsilon ^{2} }$ подставим найденные значения

$P(|X-0,7|<0,3)\ge 1-\frac{0,51}{0,8^{2} } =0,203125$

Ответ

$P(|X-0,7|<0,3)\ge 0,203125$

ПРИМЕР 2

Задание

При некоторых испытаниях вероятность наступления события $X$ равна $0,25$ . Оценить вероятность того, что при 1000 испытаниях отклонение относительной частоты появления события $X$ от его вероятности не превзойдет по модулю $0,02$ .

Решение

Для решения данной задачи воспользуемся неравенством Чебышева. При заданных испытаниях событие может наступать, а может не наступать, т.е случайная величина может принимать значения $1$ или $0$ . Вероятность наступления события $X$ равна $p=0,25$ , тогда вероятность ненаступления события $X$ равна $q=1-0,25=0,75$ . Найдем математическое ожидание

$(X )=1\cdot p+0\cdot q=1\cdot 0,25+0\cdot 0,75=0,25$