Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Теорема сложения вероятностей

Теорема сложения вероятностей совместных событий

ТЕОРЕМА
Если события A и B совместны, то вероятность появления одного из них равна сумме их вероятностей минус вероятность их одновременного появления

    \[    P(A+B) = P(A) + P(B) - P (A \cdot B) \]

В случае если события A и B несовместны, то есть P (A \cdot B) = 0, то имеет место следующая теорема.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

ТЕОРЕМА
Вероятность появления одного из двух несовместных событий A и B равна сумме их вероятностей:

    \[    P(A+B) = P(A) + P(B) \]

Следствие 1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий A_{1}, A_{2},..., A_{n}, равна сумме вероятностей этих событий

    \[    P(A_{1} + ... + A_{n}) = P(A_{1}) + ... + P(A_{n}) \]

Следствие 2. Если события A_{1}, A_{2},..., A_{n} образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

    \[    \sum_{i=1}^m P(A_{i}) = 1 \]

Следствие 3. Сумма противоположных событий равна единице, то есть

    \[    P(A) + P(\overline{A}) = 1 \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Охотник стреляет в мишень, разделенную на четыре области. Вероятность попадания в первую область равна 0,29; во вторую – 0,23; в третью – 0,4. Найти вероятность того, что охотник попадет в первую или во вторую, или в третью мишень.
Решение Обозначим D – событие, вероятность которого необходимо найти, A – охотник попадет в первую область, B – охотник попадет во вторую область, C – охотник попадет в третью область. По условию P(A)=0,29 ; P(B) = 0,23 ; P(C)=0,4. События A, B и C – несовместны, поэтому по теореме о сложении вероятности несовместных событий имеем:

    \[    P(D)=P(A)+P(B)+P(C) \]

Подставляя заданные значения вероятностей событий A, B и C, получим

    \[    P(D)=0,29+0,23+0,4=0,92 \]

Ответ P(D)=0,92
ПРИМЕР 2
Задание В коробке 30 шариков: 17 белых; 9 красных и 4 черных. Какая вероятность того, что взятый наугад шарик будет не черным?
Решение Пусть событие A – «взятый шарик не черный». Тогда противоположное событие \overline{A} – «взятый шар черный». Вероятность события \overline{A} равна

    \[    P(\overline{A}) = \frac{4}{17+9+4} = \frac{2}{15} \]

Тогда, по следствию из теоремы о сумме вероятностей,

    \[    P(A) + P(\overline{A}) = 1 \]

вероятность события A равна

    \[    P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{2}{15} = \frac{13}{15} \]

Ответ P(A) = \frac{13}{15}