Теорема сложения вероятностей

Теорема сложения вероятностей совместных событий

ТЕОРЕМА

Если события $A$ и $B$ совместны, то вероятность появления одного из них равна сумме их вероятностей минус вероятность их одновременного появления

$P(A+B) = P(A) + P(B) - P (A \cdot B)$

В случае если события $A$ и $B$ несовместны, то есть $P (A \cdot B) = 0$ , то имеет место следующая теорема.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

ТЕОРЕМА

Вероятность появления одного из двух несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме их вероятностей:

$P(A+B) = P(A) + P(B)$

Следствие 1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий $A_{1}, A_{2},..., A_{n}$ , равна сумме вероятностей этих событий

$P(A_{1} + ... + A_{n}) = P(A_{1}) + ... + P(A_{n})$

Следствие 2. Если события $A_{1}, A_{2},..., A_{n}$ образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

$\sum_{i=1}^m P(A_{i}) = 1$

Следствие 3. Сумма противоположных событий равна единице, то есть

$P(A) + P(\overline{A}) = 1$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Охотник стреляет в мишень, разделенную на четыре области. Вероятность попадания в первую область равна $0,29$ ; во вторую – $0,23$ ; в третью – $0,4$ . Найти вероятность того, что охотник попадет в первую или во вторую, или в третью мишень.

Решение

Обозначим $D$ – событие, вероятность которого необходимо найти, $A$ – охотник попадет в первую область, $B$ – охотник попадет во вторую область, $C$ – охотник попадет в третью область. По условию $P(A)=0,29 ; P(B) = 0,23 ; P(C)=0,4$ . События $A$ , $B$ и $C$ – несовместны, поэтому по теореме о сложении вероятности несовместных событий имеем:

$P(D)=P(A)+P(B)+P(C)$

Подставляя заданные значения вероятностей событий $A$ , $B$ и $C$ , получим

$P(D)=0,29+0,23+0,4=0,92$

Ответ

$P(D)=0,92$

ПРИМЕР 2

Задание

В коробке 30 шариков: 17 белых; 9 красных и 4 черных. Какая вероятность того, что взятый наугад шарик будет не черным?

Решение

Пусть событие $A$ – «взятый шарик не черный». Тогда противоположное событие $\overline{A}$ – «взятый шар черный». Вероятность события $\overline{A}$ равна

$P(\overline{A}) = \frac{4}{17+9+4} = \frac{2}{15}$