Геометрические вероятности

Определение и формулы геометрической вероятности

При геометрическом подходе к определению вероятности в качестве пространства $G$ элементарных событий рассматривается произвольное множество конечной меры на прямой, плоскости или в пространстве. Событиями называют всевозможные измеримые подмножества $g$ множества $G$ .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Вероятность $P\left(A\right)$ события A «наугад кинутая точка на область $G$ попадет в область $g$ вычисляется по формуле

$P\left(A\right)=\frac{mes\, g}{mes\; G} ,$

при этом область $g$ называется благоприятной для события . Символом $mes$ обозначается мера области, которая может быть длинной отрезка, площадью фигуры, объемом тела и т.п.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

На отрезке AB длиной 20 см наугад отметили точку $C$ . Какова вероятность, что она находится на расстоянии не более 9 см от точки $A$ и не больше 15 см от точки $B$ ?

Решение

Сделаем рисунок

Из условия задачи выплывает, что точка $C$ должна лежать на отрезке $MN$ , длина которого равна $9+15-20=4$ (см).

Тогда, по формуле $p=\frac{mes\, g}{mes\; G}$ , где $mes\, g=\left|MN\right|=4$ и $mes\, G=\left|AB\right|=20$ , искомая вероятность равна

$P=\frac{4}{20} =0,2$

Ответ

$p=0,2$

ПРИМЕР 2

Задание

В круг радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в этот круг квадрата.

Решение

По формуле геометрической вероятности, искомая вероятность будет равна отношению площади круга $S_{kr}$ к площади квадрата $S_{kv}$ , то есть

$p=\frac{S_{kr} }{S_{kv} }$

Площадь круга радиуса R равна $S_{kr} =\pi R^{2}$ . Площадь квадрата со стороной $a$ равна $S_{kv} =a^{2}$ . Сторона квадрата связана с радиусом описанной окружности следующим соотношением $a=\sqrt{2} \cdot R$ , тогда $S_{kv} =\left(\sqrt{2} \cdot R\right)^{2} =2R^{2}$ . Таким образом, вероятность того, что точка, наудачу брошенная в круг, попадет в квадрат вписанный в этот круг, равна

$p=\frac{2R^{2}}{\pi R^{2}} =\frac{2}{\pi } \approx 0,64$

Ответ

$p\approx 0,64$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Геометрические вероятности

Определение и формулы геометрической вероятности

Примеры решения задач