Теорема умножения вероятностей

ТЕОРЕМА

Вероятность произведения двух событий $A$ и $B$ (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило:

$P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B|A)$

или

$P(A \cdot B) = P(B) \cdot P(A|B)$

Следствие. Вероятность произведения двух независимых событий $A$ и $B$ равно произведению вероятностей этих событий.

$P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B)$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Вероятность того, что Катя решит задачу, равна $0,8$ ; а вероятность того, что её решит Антон – $0,7$ . Найти вероятность того, что задачу решат оба ученика.

Решение

Обозначим события $A$ – Катя решит задачу; $B$ – Антон решит задачу. По условию вероятности этих событий соответственно равны $P(A)=0,8$ и $P(B)=0,7$ . События $A$ и $B$ – независимы. Тогда, по следствию из теоремы умножения, вероятность того, что задачу решат оба ученика, равна:

$P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B)$

Подставляя заданные вероятности событий $A$ и $B$ , получим:

$P(A \cdot B) = 0,8 \cdot 0,7 = 0,56$

Ответ

Вероятность того, что задачу решет оба ученика равна $0,56$ .

ПРИМЕР 2

Задание

У токаря есть 13 конических и 17 цилиндрических деталей. Он наугад взял одну деталь, а затем другую. Найти вероятность того, что первая деталь коническая, а вторая цилиндрическая.

Решение

Обозначим событие $A$ – первая деталь коническая, событие $B$ – вторая деталь цилиндрическая. По теореме умножения искомая вероятность равна

$P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B|A)$

По классическому определению вероятности $P(A)=\frac{13}{13+17}=\frac{13}{30}$ . Вероятность того, что вторая деталь цилиндрическая, вычислим при условии, что первой взята коническая деталь: $P(B|A)=\frac{17}{12+17}=\frac{17}{29}$ . Подставляя найденные вероятности в формулу

$P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B|A)$

получим

$P(A \cdot B) = \frac{13}{30} \cdot \frac{17}{29} = \frac{221}{870}$

Ответ

Вероятность того, что первая деталь коническая, а вторая цилиндрическая, равна $\frac{221}{870}$ .

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Теорема умножения вероятностей

Примеры решения задач