Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Теорема умножения вероятностей

ТЕОРЕМА
Вероятность произведения двух событий A и B (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило:

    \[    P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B|A) \]

или

    \[    P(A \cdot B) = P(B) \cdot P(A|B) \]

Следствие. Вероятность произведения двух независимых событий A и B равно произведению вероятностей этих событий.

    \[    P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B) \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Вероятность того, что Катя решит задачу, равна 0,8; а вероятность того, что её решит Антон – 0,7. Найти вероятность того, что задачу решат оба ученика.
Решение Обозначим события A – Катя решит задачу; B – Антон решит задачу. По условию вероятности этих событий соответственно равны P(A)=0,8 и P(B)=0,7. События A и B – независимы. Тогда, по следствию из теоремы умножения, вероятность того, что задачу решат оба ученика, равна:

    \[    P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B) \]

Подставляя заданные вероятности событий A и B, получим:

    \[    P(A \cdot B) = 0,8 \cdot 0,7 = 0,56 \]

Ответ Вероятность того, что задачу решет оба ученика равна 0,56.
ПРИМЕР 2
Задание У токаря есть 13 конических и 17 цилиндрических деталей. Он наугад взял одну деталь, а затем другую. Найти вероятность того, что первая деталь коническая, а вторая цилиндрическая.
Решение Обозначим событие A – первая деталь коническая, событие B – вторая деталь цилиндрическая. По теореме умножения искомая вероятность равна

    \[    P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B|A) \]

По классическому определению вероятности P(A)=\frac{13}{13+17}=\frac{13}{30}. Вероятность того, что вторая деталь цилиндрическая, вычислим при условии, что первой взята коническая деталь: P(B|A)=\frac{17}{12+17}=\frac{17}{29}. Подставляя найденные вероятности в формулу

    \[    P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B|A) \]

получим

    \[    P(A \cdot B) = \frac{13}{30} \cdot \frac{17}{29} = \frac{221}{870} \]

Ответ Вероятность того, что первая деталь коническая, а вторая цилиндрическая, равна \frac{221}{870}.