Формулы сокращенного умножения

Решая различные задачи, часто приходится умножать друг на друга двучлены следующего вида: $a+b$ , $a-b$ и т.п. Чтобы в таком случае сразу можно было записать ответ, полезно запомнить определенные тождества, которые называются формулами сокращенного умножения.

При помощи формул сокращенного умножения некоторые многочлены можно разложить на множители либо ускорить процесс умножения некоторых выражений друг на друга.

Приведем формулы сокращенного умножения 7 класс:

Квадрат суммы

$(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ и обратная $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a+b)^{2}$

Квадрат разности

$(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ и обратная $a^{2} - 2ab + b^{2} = (a-b)^{2}$

Разность квадратов

$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ и обратная $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$

Куб суммы

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ и обратная $a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3}$

Куб разности

$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$ и обратная $a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=(a-b)^{3}$

Сумма кубов

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$ и обратная $(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3}$

Разность кубов

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$ и обратная $(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}$

Отметим, что разложение на множители является обратным преобразованием к умножению многочленов. Схематически, на примере формулы «разность квадратов», это можно изобразить так:

$(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$

Формулы сокращенного умножения были известны уже давно, еще древнегреческим и древнекитайским математикам. Записывали их словами и доказывали геометрически для положительных чисел. Используя рисунок, доказывали, что площадь квадрата со стороною $a+b$ равна сумме площадей двух квадратов со сторонами $a$ и $b$ и прямоугольников со сторонами $a$ , $b$ . То есть доказывали выполнение равенства

$(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$

Аналогично доказывались и остальные формулы сокращенного умножения.

Бином Ньютона

Отметим, что формулы квадрат суммы/разности, куб суммы/разности являются простейшими случаями формулы бинома Ньютона:

$(a+b)^{n} = a^{n} + n a^{n-1}b + \frac{n(n-1)}{2} a^{n-2}b^{2} + \ldots + nab^{n-1} + b^{n}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать: