Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Тройной интеграл

Понятие тройного интеграла вводиться аналогично понятию двойного интеграла.

Пусть функция u=f\left( x;\ y;\ z \right) определена в ограниченной замкнутой области \Omega, которая принадлежит трехмерному пространству с определенной декартовой системой координат Oxyz. Разобьем заданную область на n частей {{\Omega }_{i}}, которые не имеют общих внутренних точек и объемы которых равны соответственно \Delta {{V}_{i}},\ i=\overline{1;\ n}. В каждой такой элементарной области возьмем произвольную точку {{P}_{i}}\left( {{x}_{i}};\ {{y}_{i}};\ {{z}_{i}} \right) и составим сумму \sum\limits_{i=1}^{n}{f\left( {{x}_{i}};\ {{y}_{i}};\ {{z}_{i}} \right)\Delta {{V}_{i}}}, называемую интегральной суммой для функции u=f\left( x;\ y;\ z \right) по области \Omega.

Пусть \lambda =\underset{1\le i\le n}{\mathop{\max }}\,d\left( {{\Omega }_{i}} \right) – наибольшее из расстояний между точка элементарной области {{\Omega }_{i}}. Если существует предел \underset{\lambda \to 0}{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=1}^{n}{f\left( {{x}_{i}};\ {{y}_{i}};\ {{z}_{i}} \right)\Delta {{V}_{i}}}, который не зависит ни от способа разбиения области \Omega на элементарные области {{\Omega }_{i}}, ни от выбора в них точек {{P}_{i}}, то этот предел называется тройным интегралом по области \Omega и обозначается

    \[\iiint\limits_{\Omega }{f(x;y;z)dV} \text{ }\text{ } , \text{ }\text{ } \iiint\limits_{\Omega }{f(x;y;z)dxdydz}\]

Пусть \Omega – замкнутая пространственная область, которая ограничена снизу и сверху поверхностями z={{\phi }_{1}}\left( x;\ y \right) и z={{\phi }_{2}}\left( x;\ y \right) соответственно ({{\phi }_{2}}\left( x;\ y \right)\ge {{\phi }_{1}}\left( x;\ y \right)), а з боку – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz (рис. 1).

Переменные x и y изменяются в плоской области D, которая является проекцией пространственной области \Omega на координатную плоскость Oxy.

В прямоугольной декартовой системе координат элемент объему dv вычисляется по формуле dv=dxdydz. Для указанной области \Omega тройной интеграл равен:

    \[\iiint\limits_{\Omega}{f(x; y; z)dxdydz}=\iint\limits_{D}{dxdy}\int\limits_{{{\phi }_{1}}\left( x \right)}^{{{\phi }_{2}}\left( x \right)}{f\left( x;\ y;\ z \right)dz}\]

Внутренний интеграл \int\limits_{{{\phi }_{1}}\left( x \right)}^{{{\phi }_{2}}\left( x \right)}{f\left( x;\ y;\ z \right)dz} вычисляется по переменной z, а переменные x и y в этом случае считаются постоянными. Результатом интегрирования есть функция переменных x и yF\left( x;y \right). Итак, вычисление тройного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла \iint\limits_{D}{F\left( x;\ y \right)dxdy}.

ЗАМЕЧАНИЕ
Порядок интегрирования в тройном интеграле может быть изменен, то есть внутренний интеграл может находиться как по переменной x, так и по переменной y.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Вычислить тройной интеграл I=\iiint\limits_{\Omega }{xdxdydz}, где область \Omega – это тетраэдр, ограниченный плоскостью 2x+2y+z-6=0 и координатными плоскостями.
Решение Вычисление интеграла начнем с того, что изобразим заданную область \Omega. Заданий тетраэдр снизу ограничен координатной плоскостью Oxy, уравнение которой z=0, сверху плоскостью 2x+2y+z-6=0, а по бокам координатными плоскостями Oxz\ \left( y=0 \right) и Oyz\ \left( x=0 \right) (рис. 2).

Из уравнения 2x+2y+z-6=0 плоскости находим z=6-2x-2y. Таким образом, можно сделать вывод, что в области \Omega переменная z изменяется от 0 до 6-2x-2y: 0\le z\le 6-2x-2y.

Для нахождения пределов для переменных x и y спроектируем пространственную область \Omega на плоскость Oxy. Проекцией будет треугольник AOB (рис. 3), ограниченный координатными прямыми и прямой AB. Найдем уравнение этой прямой:

    \[\left( AB \right):\left\{ \begin{matrix} 				   2x+2y+z-6=0, \\  				  z=0 \\  				\end{matrix} \right.\Rightarrow 2x+2y-6=0\Rightarrow x+y-3=0\Rightarrow y=3-x\]

Таким образом, область D, определяется неравенствами D:\left\{ \begin{matrix} 				   0\le x\le 3, \\  				  0\le y\le 3-x. \\  				\end{matrix} \right.

Тогда будем иметь:

    \[I=\int\limits_{0}^{3}{dx}\int\limits_{0}^{3-x}{dy}\int\limits_{0}^{6-2x-2y}{xdz}=\int\limits_{0}^{3}{xdx}\int\limits_{0}^{3-x}{\left. z_{{}}^{{}} \right|_{0}^{6-2x-2y}dy}=\int\limits_{0}^{3}{xdx}\int\limits_{0}^{3-x}{\left( 6-2x-2y \right)dy}=\]

    \[=\int\limits_{0}^{3}{x\left. \cdot \left( 6y-2xy-{{y}^{2}} \right) \right|_{0}^{3-x}dx}=\int\limits_{0}^{3}{x\left( 6\left( 3-x \right)-2x\left( 3-x \right)-{{\left( 3-x \right)}^{2}} \right)dx=}\]

    \[=\int\limits_{0}^{3}{\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x \right)dx=}\left. \left( \frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{6{{x}^{3}}}{3}+\frac{9{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{0}^{3}=\frac{81}{4}-54+\frac{81}{2}=\frac{27}{4}\]

Ответ