Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Бесконечно малые функции

Определение бесконечно малой функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция \alpha \left( x \right) называется бесконечно малой функцией при x\to a, если \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\alpha \left( x \right)=0

Замечание. Отметим тот факт, что функция может быть бесконечно малой лишь в конкретной точке.

ПРИМЕР
Задание Будет ли функция y={{x}^{2}} бесконечно малой функцией в точке x=0?
Решение Найдем предел заданной функции при x\to 0:

    \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,y\left( x \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}={{0}^{2}}=0\]

а значит функция y={{x}^{2}} является бесконечно малой в точке x=0.

Ответ Да, будет.

Основные теоремы бесконечно малых функций

ТЕОРЕМА
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
ТЕОРЕМА
Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.
ТЕОРЕМА
Всякая бесконечно малая функция является ограниченной.
ТЕОРЕМА
Произведение двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.
ТЕОРЕМА
Произведение бесконечно малая функция на число есть функция бесконечно малая.
ТЕОРЕМА
Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.
ТЕОРЕМА
Если функция \alpha \left( x \right) – бесконечно малая, то функция \frac{1}{\alpha \left( x \right)} есть бесконечно большая функция и наоборот.
ТЕОРЕМА

(Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией). Если функция y=f\left( x \right) имеем предел, равный a, то ее можно представить как сумму этого числа a и бесконечно малой функции \alpha \left( x \right):

    \[\underset{x\to b}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=a\Rightarrow f\left( x \right)=a+\alpha \left( x \right),\ \underset{x\to b}{\mathop{\lim }}\,\alpha \left( x \right)=0\]

ТЕОРЕМА
Если функцию y=f\left( x \right) можно представить в виде суммы числа a и бесконечно малой функции \alpha \left( x \right), то число a является пределом функции y=f\left( x \right):

    \[f\left( x \right)=a+\alpha \left( x \right),\ \underset{x\to b}{\mathop{\lim }}\,\alpha \left( x \right)=0\Rightarrow \underset{x\to b}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=a\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР
Задание Доказать, что \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( x+5 \right)=6
Доказательство Функцию x+5, стоящую под знаком предела, можно представить следующим образом:

    \[x+5=6+\left( x-1 \right)\]

где функция \alpha \left( x \right)=x-1 является бесконечно малой функцией при x\to 1, поскольку

    \[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\alpha \left( x \right)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( x-1 \right)=0\]

Следовательно, согласно теореме о связи между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией, делаем вывод, что

    \[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( x+5 \right)=6\]

Что и требовалось доказать.