Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Замечательные пределы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Замечательные пределы – термин, использующийся в отечественных математических учебниках для обозначения некоторых пределов с известным решением, используемых для упрощенного решения более сложных пределов.

Первый замечательный предел:

    \[ \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=1 \]

Следствия:

    \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin kx}{nx}=\frac{k}{n}\]

    \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\text{tg}\ x}{x}=1\]

    \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\arcsin x}{x}=1\]

    \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\text{arctg}\ x}{x}=1\]

Подробнее про первый замечательный предел читайте в отдельной теме.

Примеры решений с первым замечательным пределом

ПРИМЕР
Задание Найти предел

    \[ \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin 2x}{5x} \]

Решение Вначале выясним тип неопределенности (если она есть). Для этого подставим предельное значение 0 в выражение под знак предела:

    \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin 2x}{5x}\ \left[ \frac{\sin \left( 2\cdot 0 \right)}{5\cdot 0}=\frac{0}{0} \right]\]

Таким образом, у нас есть неопределенность вида \left[ \frac{0}{0} \right]. Выражение, стоящее под знаком предела похоже на первый замечательный предел, но аргумент синуса и знаменатель немного отличны. Поэтому приведем дробь к указанному замечательному пределу. Для этого, так как аргумент синуса равен 2x, то и в знаменателе выделим точно такой же множитель:

    \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin 2x}{5x}\ \left[ \frac{0}{0} \right]=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin 2x}{5\cdot \frac{2x}{2}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin 2x}{\frac{5}{2}\cdot 2x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\sin 2x}{5\cdot 2x}\]

По свойствам пределов константу можно выносить за знак предела, а тогда

    \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin 2x}{5x}=\frac{2}{5}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin 2x}{2x}=\frac{2}{5}\cdot 1=\frac{2}{5}\]

Ответ

Второй замечательный предел

    \[ \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{x} \right)}^{x}}=e \]

здесь e\approx 1,2718281828 – постоянная Эйлера

Следствия:

    \[\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{k}{x} \right)}^{x}}={{e}^{k}}\]

    \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1+x \right)}{x}=1\]

    \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-1}{x}=1\]

    \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}^{x}}-1}{x}=\ln a\]

    \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( 1+x \right)}^{m}}-1}{x}=m\]

Подробнее про второй замечательный предел читайте в отдельной теме.

Примеры решений со вторым замечательным пределом

ПРИМЕР
Задание Найти предел

    \[ \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{x+1}{x+3} \right)}^{2x+1}} \]

Решение Выясним тип неопределенности (если он есть). Основание степени имеет предел

    \[\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{x+3}\ \left[ \frac{\infty }{\infty } \right]=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( 1+\frac{1}{x} \right)}{x\left( 1+\frac{3}{x} \right)}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+\frac{1}{x}}{1+\frac{3}{x}}=\frac{1+0}{1+0}=1\]

а степень

    \[\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 2x+1 \right)=2\cdot \infty +1=\infty \]

Таким образом, имеем неопределенность типа \left[ {{1}^{\infty }} \right].

Приведем заданный предел ко второму замечательному:

    \[\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{x+1}{x+3} \right)}^{2x+1}}\ \left[ {{1}^{\infty }} \right]=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{x+1}{x+3}-1 \right)}^{2x+1}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{x+1-x-3}{x+3} \right)}^{2x+1}}=\]

    \[=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{-2}{x+3} \right)}^{2x+1}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left[ \underbrace{{{\left( 1+\frac{-2}{x+3} \right)}^{\frac{x+3}{-2}}}}_{\to e} \right]}^{\frac{-2}{x+3}\cdot \left( 2x+1 \right)}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{-4x-2}{x+3}}}=\]

    \[={{e}^{\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-4x-2}{x+3}\left[ \frac{\infty }{\infty } \right]}}={{e}^{\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( -4-\frac{2}{x} \right)}{x\left( 1+\frac{3}{x} \right)}}}={{e}^{\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-4-\frac{2}{x}}{1+\frac{3}{x}}}}={{e}^{\frac{-4-0}{1+0}}}={{e}^{-4}}=\frac{1}{{{e}^{4}}}\]

Ответ