Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Предел числовой последовательности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Число a называется пределом последовательности \left\{ {{x}_{n}} \right\}, если для любого положительного числа \varepsilon существует такой номер {{n}_{0}}, зависящий от \varepsilon, что для всех номеров n\ge {{n}_{0}} имеет место неравенство \left| {{x}_{n}}-a \right|<\varepsilon.

Обозначается \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=a или \underset{n}{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=a, или {{x}_{n}}\to a при n\to \infty, или {{x}_{n}}\xrightarrow[n\to \infty ]{}a.

Тогда кратко определение предела последовательности можно записать следующим образом:

    \[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=a\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \,{{n}_{0}}={{n}_{0}}\left( \varepsilon  \right):\forall n\ge {{n}_{0}}\ \left| {{x}_{n}}-a \right|<\varepsilon \]

ПРИМЕР
Задание Доказать, что \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{n}{n+1}=1
Доказательство Доказательство будем проводить с помощью определения предела последовательности. То есть необходимо доказать, что для любого \varepsilon >0 существует такой номер {{n}_{0}}={{n}_{0}}\left( \varepsilon  \right), что для всех номеров n\ge {{n}_{0}} выполняется неравенство

    \[ \left| \frac{n}{n+1}-1 \right|<\varepsilon : \]

    \[\left| \frac{n}{n+1}-1 \right|=\left| \frac{n-n-1}{n+1} \right|=\left| \frac{-1}{n+1} \right|=\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}<\varepsilon \]

Решаем неравенство \frac{1}{n}<\varepsilon относительно n:

    \[n>\frac{1}{\varepsilon }\]

Тогда, в качестве {{n}_{0}} можно взять номер

    \[{{n}_{0}}=\left[ \frac{1}{\varepsilon } \right]+1>\frac{1}{\varepsilon }\]

где \left[ x \right] – целая часть числа x.

Что и требовалось доказать.

Сходящаяся и расходящаяся последовательности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Последовательность, которая имеет конечный предел, называется сходящейся.

Если предел последовательности \left\{ {{x}_{n}} \right\} равен нулю: \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=0, то эта последовательность называется бесконечно малой.

Последовательность \left\{ {{x}_{n}} \right\} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа M существует такой номер, зависящий от M: {{n}_{0}}={{n}_{0}}\left( M \right), что для всех номеров n>{{n}_{0}} имеет место неравенство

    \[\left| {{x}_{n}} \right|\ge M\]

В этом случае говорят, что предел последовательности \left\{ {{x}_{n}} \right\} равен бесконечности и обозначают \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=\infty.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Последовательность, которая не является сходящейся, называется расходящейся.

Замечание. Бесконечно большая последовательность является расходящейся.

Примеры решения задач

ПРИМЕР
Задание Доказать, что последовательность \left\{ {{x}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}} \right\} не имеет предела.
Доказательство Предположим противное, что заданная последовательность имеет предел, который равен a. Это означает, что для любого \varepsilon >0 существует такой номер {{n}_{0}}={{n}_{0}}\left( \varepsilon  \right), что для всех номеров n\ge {{n}_{0}} выполняется неравенство \left| {{x}_{n}}-a \right|<\varepsilon:

    \[\forall \varepsilon >0\ \exists \,{{n}_{0}}={{n}_{0}}\left( \varepsilon  \right):\forall n\ge {{n}_{0}}\ \left| {{\left( -1 \right)}^{n}}-a \right|<\varepsilon \]

Поскольку имеют место следующие неравенства:

    \[2{{n}_{1}}>{{n}_{1}},\ 2{{n}_{1}}+1>{{n}_{1}},\ \forall {{n}_{1}}\in N\]

тогда взяв \varepsilon =\frac{1}{2}>0, будем иметь, что

    \[\left| {{x}_{2{{n}_{1}}}}-a \right|<\frac{1}{2}; \quad \left| {{x}_{2{{n}_{1}}+1}}-a \right|<\frac{1}{2}\]

Или, подставляя значения:

    \[\left| {{\left( -1 \right)}^{2{{n}_{1}}}}-a \right|=\left| 1-a \right|<\frac{1}{2}; \quad \left| {{\left( -1 \right)}^{2{{n}_{1}}+1}}-a \right|=\left| -1-a \right|<\frac{1}{2}\]

Рассмотрим модуль следующей разности: \left| {{x}_{2{{n}_{1}}}}-{{x}_{2{{n}_{1}}+1}} \right|. С одной стороны имеем, что

    \[\left| {{x}_{2{{n}_{1}}}}-{{x}_{2{{n}_{1}}+1}} \right|=\left| 1-a-\left( -1-a \right) \right|=\left| 2 \right|=2\]

а с другой стороны модуль разности меньше либо равен суммы модулей, то есть

    \[\left| {{x}_{2{{n}_{1}}}}-{{x}_{2{{n}_{1}}+1}} \right|=\left| {{x}_{2{{n}_{1}}}}-a-{{x}_{2{{n}_{1}}+1}}+a \right|=\left| \left( {{x}_{2{{n}_{1}}}}-a \right)-\left( {{x}_{2{{n}_{1}}+1}}-a \right) \right|\le \]

    \[\le \left| {{x}_{2{{n}_{1}}}}-a \right|+\left| {{x}_{2{{n}_{1}}+1}}-a \right|<\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\]

Итак, имеем, что

    \[2=\left| {{x}_{2{{n}_{1}}}}-{{x}_{2{{n}_{1}}+1}} \right|<1\]

То есть получили противоречие 2<1, которое означает, что предположение, что заданная последовательность имеет предел, который равен a, неверно. Следовательно, последовательность \left\{ {{x}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}} \right\} не имеет предела.

Что и требовалось доказать.

Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.