Предел числовой последовательности
Обозначается или , или при , или .
Тогда кратко определение предела последовательности можно записать следующим образом:
Задание | Доказать, что |
Доказательство | Доказательство будем проводить с помощью определения предела последовательности. То есть необходимо доказать, что для любого существует такой номер , что для всех номеров выполняется неравенство
Решаем неравенство относительно :
Тогда, в качестве можно взять номер
где – целая часть числа . Что и требовалось доказать. |
Сходящаяся и расходящаяся последовательности
Если предел последовательности равен нулю: , то эта последовательность называется бесконечно малой.
Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа существует такой номер, зависящий от M: , что для всех номеров имеет место неравенство
В этом случае говорят, что предел последовательности равен бесконечности и обозначают .
Замечание. Бесконечно большая последовательность является расходящейся.
Примеры решения задач
Задание | Доказать, что последовательность не имеет предела. |
Доказательство | Предположим противное, что заданная последовательность имеет предел, который равен . Это означает, что для любого существует такой номер , что для всех номеров выполняется неравенство :
Поскольку имеют место следующие неравенства:
тогда взяв , будем иметь, что
Или, подставляя значения:
Рассмотрим модуль следующей разности: . С одной стороны имеем, что
а с другой стороны модуль разности меньше либо равен суммы модулей, то есть
Итак, имеем, что
То есть получили противоречие , которое означает, что предположение, что заданная последовательность имеет предел, который равен , неверно. Следовательно, последовательность не имеет предела. Что и требовалось доказать. |