Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Непрерывность функции в точке и на промежутке

Непрерывность функции в точке

Пусть функция y=f\left( x \right) определена в некоторой окрестности точки x=a (включая саму эту точку).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция y=f\left( x \right) называется непрерывной в точке x=a, если существует предел \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right), равный значению f\left( a \right) функции y=f\left( x \right) в этой точке: f\left( x \right) непрерывна при

    \[ x=a\Leftrightarrow \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( a \right) \]

ПРИМЕР
Задание Доказать непрерывность функции y={{x}^{2}}-2x+11
Доказательство Пусть x=a – некоторая произвольная точка. Найдем предел заданной функции при стремлении аргумента к точке x=a:

    \[\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-2x+11 \right)={{a}^{2}}-2a+11\]

Далее находим значение функции в точке x=a:

    \[y\left( a \right)={{a}^{2}}-2a+11\]

Поскольку

    \[\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( a \right)\]

то функция y={{x}^{2}}-2x+11 непрерывна в точке x=a. Так как точка x=a – произвольная точка, то доказано, что функция непрерывна для всех значений x.

Что и требовалось доказать.

Пусть \Delta x=xa, а \Delta y=\Delta f\left( x \right)=f\left( x \right)-f\left( a \right) – соответствующее этому приращению аргумента приращение функции.

ТЕОРЕМА
(Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке). Функция y=f\left( x \right) непрерывна в точке x=a тогда и только тогда, когда

    \[\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\Delta f\left( x \right)=0\]

То есть, функция y=f\left( x \right) называется непрерывной в точке x=a, если она определена в точке x=a и ее окрестности и выполняется равенство \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\Delta f\left( x \right)=0 (бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции).

ПРИМЕР
Задание Исследовать на непрерывность функцию y=\sin x
Решение Заданная функция определена при всех x\in R. Возьмем произвольную точку x и найдем приращение функции \Delta y:

    \[\Delta y=\Delta f\left( x \right)=f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)=\sin \left( x+\Delta x \right)-\sin x\]

Применим формулу «разность синусов»:

    \[\sin x-\sin y=2\sin \frac{x-y}{2}\cos \frac{x+y}{2}\]

Будем иметь:

    \[\Delta y=2\sin \frac{\Delta x}{2}\cos \left( x+\frac{\Delta x}{2} \right)\]

Находим предел приращения функции при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:

    \[\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\Delta y=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,2\sin \frac{\Delta x}{2}\cos \left( x+\frac{\Delta x}{2} \right)=2\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sin \frac{\Delta x}{2}\cos \left( x+\frac{\Delta x}{2} \right)\]

Поскольку аргумент синуса стремится к нулю, то его можно заменить его аргументом (так как эти функции являются эквивалентными бесконечно малыми функциями):

    \[\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\Delta y=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,2\sin \frac{\Delta x}{2}\cos \left( x+\frac{\Delta x}{2} \right)=2\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta x}{2}\cos \left( x+\frac{\Delta x}{2} \right)=2\cdot \frac{0}{2}\cdot \cos x=0\]

Тогда, согласно определению, функция y=\sin x непрерывна в произвольной точке x.

Ответ Функция непрерывна при любом x\in R

Непрерывность функции справа и слева в точке

Рассмотрим функцию y=f\left( x \right), которая определена в полуинтервале \left[ a;\ a+\delta  \right).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция y=f\left( x \right) называется непрерывной справа в точке x=a, если существует односторонний предел

    \[f\left( a+0 \right)=\underset{x\to a+0}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( a \right)\]

Пусть функция y=f\left( x \right) определена в полуинтервале \left( a-\delta ;\ a \right].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция y=f\left( x \right) называется непрерывной слева в точке x=a, если существует левый предел в этой точке

    \[f\left( a-0 \right)=\underset{x\to a-0}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( a \right)\]

ТЕОРЕМА
Если функции f\left( x \right); \quad g\left( x \right) непрерывны в точке x=a, то в этой точке непрерывными будут также функции

    \[ f\left( x \right)\pm g\left( x \right),\ f\left( x \right)\cdot g\left( x \right),\ \frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)},\ g\left( a \right)\ne 0 \]

ТЕОРЕМА
Если функция t\left( x \right) непрерывна в точке x=a, а функция f\left( t \right) непрерывна в соответствующей точке {{t}_{0}}=f\left( a \right), то и сложная функция f\left( t\left( x \right) \right) непрерывна в точке x=a.
ТЕОРЕМА
Все элементарные функции непрерывны в каждой точке их областей определения.
ТЕОРЕМА
(Ограниченность непрерывной функции). Если функция y=f\left( x \right) непрерывна в точке x=a, то существует окрестность этой точки, в которой заданная функция ограничена.
ТЕОРЕМА
(Про устойчивость знака непрерывной функции). Если функция y=f\left( x \right) непрерывна в точке x=a; \quad f\left( a \right)\ne 0, то существует окрестность этой точки, в которой f\left( a \right)\ne 0, причем знак функция в этой окрестности совпадает со знаком f\left( a \right).

Непрерывность функции на промежутке

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция y=f\left( x \right) называется непрерывной на интервале \left( a;\ b \right), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция y=f\left( x \right) называется непрерывной на отрезке \left[ a;\ b \right], если она непрерывна на интервале \left( a;\ b \right), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Замечание. Функция, непрерывная на отрезке \left[ a;\ b \right] может быть разрывной в точках a и b.

ТЕОРЕМА
(Об ограниченности непрерывной на отрезке функции). Если функция y=f\left( x \right) непрерывна на отрезке \left[ a;\ b \right], то она и ограничена на этом отрезке, то есть существует такое число M>0, что для любого x\in \left[ a;\ b \right] выполняется неравенство \left| f\left( x \right) \right|\le M.
ТЕОРЕМА
(Теорема Вейерштрасса). Если функция y=f\left( x \right) непрерывна на отрезке \left[ a;\ b \right], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего M и наименьшего m значений.
ТЕОРЕМА
(О существовании нуля на отрезке непрерывности). Если функция y=f\left( x \right) непрерывна на отрезке \left[ a;\ b \right] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале \left( a;\ b \right) найдется по крайней мере одна точка c, в которой f\left( c \right)=0.
ТЕОРЕМА
(Теорема Больцано-Коши). Если функция y=f\left( x \right) непрерывна на отрезке \left[ a;\ b \right], то она принимает на интервале \left( a;\ b \right) все промежуточные значения между f\left( a \right) и f\left( b \right).
ТЕОРЕМА
(О существовании непрерывной обратной функции). Пусть функция y=f\left( x \right) определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке \left[ a;\ b \right]. Тогда на отрезке \left[ \alpha ;\ \beta  \right], где \alpha =f\left( a \right),\ \beta =f\left( b \right), существует обратная функция x={{f}^{-1}}\left( y \right) также строго монотонная и непрерывная на отрезке \left[ \alpha ;\ \beta  \right].