Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Первый замечательный предел

Формула первого замечательного предела

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Первым замечательным пределом называется предел

    \[ \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x} \]

ТЕОРЕМА
Первый замечательный предел равен единице:

    \[ \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=1 \]

Доказательство первого замечательного предела

Рассмотрим односторонние пределы

    \[\underset{x\to 0-0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}; \quad \underset{x\to 0+0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}\]

Докажем, что каждый из этих пределов равен единице. Тогда и предел \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x} также будет равняться единице.

Пусть x\in \left( 0;\ \frac{\pi }{2} \right) и отложим этот угол на тригонометрической окружности (рис. 1).

Рис. 1

Этот луч будет пересекать единичную окружность в точке K, а вертикальную касательную, проведенную в точке A\left( 1;\ 0 \right), – в точке L. Через точку H обозначим проекцию точки K на горизонтальную ось косинусов.

Рассмотрим треугольники OAK, \quad OAL и круговой сектор OAK. Очевидно следующее двойное неравенство:

    \[{{S}_{\Delta OAK}}<{{S}_{\ OAK}}<{{S}_{\Delta OAL}}\quad(1)\]

Абсцисса точки K равна OH=\cos x, а ее ордината – KH=\sin x (равна высоте \Delta OAK). А тогда

    \[{{S}_{\Delta OAK}}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot KH=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \sin x=\frac{\sin x}{2}\]

Здесь OA=1 как радиус тригонометрической окружности.

Площадь центрального сектора круга радиуса R=1 с центральным углом x равна

    \[{{S}_{\text{sect}\ OAK}}=\frac{1}{2}{{R}^{2}}x=\frac{x}{2}\]

Площадь \Delta OAL

    \[{{S}_{\Delta OAL}}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot AL=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \text{tg}\ x=\frac{\text{tg}\ x}{2}\]

Итак, неравенство (1)перепишется в виде:

    \[\frac{\sin x}{2}<\frac{x}{2}<\frac{\text{tg}\ x}{2}\]

Так как для x\in \left( 0;\ \frac{\pi }{2} \right) все части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать следующим образом:

    \[\frac{1}{\sin x}>\frac{1}{x}>\frac{1}{\text{tg}\ x}=\text{ctg}\ x=\frac{\cos x}{\sin x}\]

После умножения на \sin x>0 получаем:

    \[1>\frac{\sin x}{x}>\cos x\]

или

    \[\cos x<\frac{\sin x}{x}<1\]

Переходя во всех частях последнего неравенства к пределу при x\to 0+0, будем иметь:

    \[\underset{x\to 0+0}{\mathop{\lim }}\,\cos x<\underset{x\to 0+0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}<\underset{x\to 0+0}{\mathop{\lim }}\,1\]

    \[1<\underset{x\to 0+0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}<1\]

По теореме о двухстороннем ограничении (теорема «про двух милиционеров») делаем вывод, что и

    \[\underset{x\to 0+0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=1\]

Вычислим теперь \underset{x\to 0-0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}:

    \[\underset{x\to 0-0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}\ \left[ \frac{0}{0} \right]\ \left\| \begin{matrix}  & x=-t \\  & t\to 0+0 \\  \end{matrix} \right\|=\underset{t\to 0+0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin \left( -t \right)}{-t}=\underset{t\to 0+0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-\sin t}{-t}=\]

    \[=\underset{t\to 0+0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin t}{t}\ \left\| \begin{matrix}  & t=x \\  & x\to 0+0 \\  \end{matrix} \right\|=\underset{x\to 0+0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=1\]

То есть \underset{x\to 0-0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=1.

А, таким образом, и \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=1.

Теорема доказана.

Следствия из первого замечательного предела

    \[ \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\text{tg}\ x}{x}=1 \]

    \[ \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\arcsin x}{x}=1 \]

    \[ \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\text{arctg}\ x}{x}=1 \]

    \[ \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos x}{{{x}^{2}}}=\frac{1}{2} \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР
Задание Вычислить предел

    \[ \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\sin x} \]

Решение Вначале выясним тип неопределенности, для этого в выражение, стоящее под знаком предела подставим значение x=0:

    \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\sin x}\ \left[ \frac{0}{\sin 0}=\frac{0}{0} \right]\]

Таким образом, имеем неопределенность типа \left[ \frac{0}{0} \right]. Перепишем предел следующим образом:

    \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\sin x}\ \left[ \frac{0}{0} \right]=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\frac{\sin x}{x}}\]

Предел частного равен частному пределов, если последние существуют:

    \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\sin x}\ \left[ \frac{0}{0} \right]=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\frac{\sin x}{x}}\overset{?}{\mathop{=}}\,\frac{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,1}{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}}\]

Предел константы равен этой константе:

    \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,1=1\]

а предел знаменателя есть первый замечательный предел и \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=1. Тогда, окончательно имеем, что

    \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\sin x}=\frac{1}{1}=1\]

Ответ
ПРИМЕР
Задание Вычислить предел

    \[ \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\arcsin x} \]

Решение Выясним тип неопределенности (если она есть). Для этого вместо x подставляем его предельное значение 0:

    \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\arcsin x}\ \left[ \frac{\text{0}}{\text{arcsin0}}=\frac{0}{0} \right]\]

Итак, имеем неопределенность типа \left[ \frac{0}{0} \right]. Для нахождения предела делаем замену:

    \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\arcsin x}\ \left[ \frac{0}{0} \right]\ \left\| \begin{matrix}   & \arcsin x=y \\   & x=\sin y \\   & y\to 0 \\  \end{matrix} \right\|=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin y}{y}\]

Получили первый замечательный предел, тогда:

    \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\arcsin x}\ \left[ \frac{0}{0} \right]\ \left\| \begin{matrix} & \arcsin x=y \\ & x=\sin y \\ & y\to 0 \\ \end{matrix} \right\|=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin y}{y}=1\]

Ответ