Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Ограниченные последовательности

Определения ограниченных последовательностей

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Последовательность \left\{ {{x}_{n}} \right\} называется ограниченной сверху, если существует число M такое, что каждый элемент рассматриваемой последовательности удовлетворяет неравенству {{x}_{n}}\le M.

Последовательность \left\{ {{x}_{n}} \right\} называется ограниченной снизу, если существует число m такое, что каждый элемент заданной последовательности удовлетворяет неравенству {{x}_{n}}\ge m.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Последовательность \left\{ {{x}_{n}} \right\} называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, то есть если существуют числа M; \quad m, такие, что для любого члена последовательности имеет место соотношение: m\le {{x}_{n}}\le M.

Последовательность \left\{ {{x}_{n}} \right\} называется неограниченной, если для любого числа A>0 найдется такой номер n, что \left| {{x}_{n}} \right|>A.

Примеры решения задач

ПРИМЕР
Задание Исследовать последовательность \left\{ \frac{1}{{{n}^{2}}} \right\} на ограниченность.
Решение Поскольку все члены заданной последовательности являются положительными (1>0,\ {{n}^{2}}>0), то

    \[\frac{1}{{{n}^{2}}}>0\]

Дробь \frac{1}{{{n}^{2}}} является неправильной (числитель меньше либо равен знаменателю, поскольку n\in N\Rightarrow n\ge 1\Rightarrow {{n}^{2}}\ge 1), а значит ее значение больше либо равно 1, то есть

    \[\frac{1}{{{n}^{2}}}\le 1\]

Итак, имеем, что 0<\frac{1}{{{n}^{2}}}\le 1, а это означает, что последовательность \left\{ \frac{1}{{{n}^{2}}} \right\} является ограниченной.

Ответ Последовательность ограничена.
ПРИМЕР
Задание Исследовать последовательность \left\{ \,{{n}^{2}} \right\} на ограниченность.
Решение Заданная последовательность ограничена снизу, поскольку

    \[n\in N\Rightarrow n\ge 1\Rightarrow {{n}^{2}}\ge 1\]

Но, однако, заданная последовательность является неограниченной последовательностью, так как для любого положительного числа A существует элемент этой последовательности, больший, чем A:

    \[{{x}_{n}}>A\Rightarrow {{n}^{2}}>A\Rightarrow n>\sqrt{A}\Rightarrow {{n}_{0}}=\left[ \sqrt{A} \right]+1\]

где \left[ y \right] – целая часть. То есть для любого положительного A>0 существует номер n=\left[ \sqrt{A} \right]+1 такой, что \left| {{x}_{\left[ \sqrt{A} \right]+1}} \right|>A

Ответ Последовательность неограниченна.