Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Бесконечно большие последовательности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Последовательность \left\{ {{x}_{n}} \right\} называется бесконечно большой, если для любого числа A>0 существует такой номер {{n}_{0}}, начиная с которого (то есть для всех n\ge {{n}_{0}}) выполняется соотношение \left| {{x}_{n}} \right|>A.

Замечание 1. Различие между бесконечно большой и неограниченной последовательностью в том, что в случае бесконечно большой последовательности соотношение \left| {{x}_{n}} \right|>A должно выполняться для всех n\ge {{n}_{0}}, а для неограниченности последовательности достаточно, чтобы существовал хотя бы один элемент последовательности, для которого выполняется \left| {{x}_{n}} \right|>A.

Следствие. Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной.

Замечание 2. Обратное утверждение в общем случае неверно.

Например, последовательность

    \[{{x}_{n}}=\left\{ 1,\ 0,\ 3,\ 0,\ 5,\ 0,\ 7,\ 0... \right\}=\left\{ \left\{ \begin{matrix} & n,\ n=2k+1, \\ & 0,\ n=2k, \\ \end{matrix} \right.\ k\in N \right\}\]

является неограниченной, но не является бесконечно большой. Покажем это.

Действительно, для любого A>0 существует номер n=2\left[ A \right]+1 (\left[ A \right] – целая часть числа A), что {{x}_{n}}>A (знак модуля опущен, так как все члены заданной последовательности являются неотрицательными). Номер n=2\left[ A \right]+1 является нечетным, следовательно, в этом случае {{x}_{n}}={{x}_{2\left[ A \right]+1}}=2\left[ A \right]+1>A. А это означает, что рассматривая последовательность неограниченна.

Так как члены последовательности чередуются и среди них есть значения 0, то нельзя указать для любого числа A>0 такой номер {{n}_{0}}, начиная с которого все члены последовательности удовлетворяют условию {{x}_{n}}>A, что соответствует тому, что последовательность \left\{ {{x}_{n}} \right\} не является бесконечно большой.

Бесконечно малые последовательности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Последовательность \left\{ {{x}_{n}} \right\} называется бесконечно малой, если для любого числа \varepsilon >0 существует такой номер {{n}_{0}}={{n}_{0}}\left( \varepsilon  \right), начиная с которого (n\ge {{n}_{0}}) выполняется соотношение \left| {{x}_{n}} \right|<\varepsilon.

Замечание 3. Любая бесконечно малая последовательность является ограниченной, но не наоборот.

Примеры решения задач

ПРИМЕР
Задание Доказать, что последовательность \left\{ {{x}_{n}}=\frac{1}{n} \right\} является бесконечно малой.
Доказательство Зададим произвольное положительное число \varepsilon и найдем такой номер {{n}_{0}} элемента этой последовательности, что для всех n\ge {{n}_{0}} выполняется соотношение

    \[\left| {{x}_{n}} \right|=\left| \frac{1}{n} \right|=\frac{1}{n}<\varepsilon \]

Запишем последнее неравенство в виде n>\frac{1}{\varepsilon }, тогда в качестве {{n}_{0}} можно выбрать {{n}_{0}}=\left[ \frac{1}{\varepsilon } \right]+1. Что и означает что рассматриваемая последовательность является бесконечно малой.

Что и требовалось доказать.

Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.