Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
Бесконечно большие последовательности
Замечание 1. Различие между бесконечно большой и неограниченной последовательностью в том, что в случае бесконечно большой последовательности соотношение должно выполняться для всех , а для неограниченности последовательности достаточно, чтобы существовал хотя бы один элемент последовательности, для которого выполняется .
Следствие. Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной.
Замечание 2. Обратное утверждение в общем случае неверно.
Например, последовательность
является неограниченной, но не является бесконечно большой. Покажем это.
Действительно, для любого существует номер ( – целая часть числа ), что (знак модуля опущен, так как все члены заданной последовательности являются неотрицательными). Номер является нечетным, следовательно, в этом случае . А это означает, что рассматривая последовательность неограниченна.
Так как члены последовательности чередуются и среди них есть значения 0, то нельзя указать для любого числа такой номер , начиная с которого все члены последовательности удовлетворяют условию , что соответствует тому, что последовательность не является бесконечно большой.
Бесконечно малые последовательности
Замечание 3. Любая бесконечно малая последовательность является ограниченной, но не наоборот.
Примеры решения задач
Задание | Доказать, что последовательность является бесконечно малой. |
Доказательство | Зададим произвольное положительное число и найдем такой номер элемента этой последовательности, что для всех выполняется соотношение
Запишем последнее неравенство в виде , тогда в качестве можно выбрать . Что и означает что рассматриваемая последовательность является бесконечно малой. Что и требовалось доказать. |