Основные теоремы о пределах функции
ТЕОРЕМА 1
(О предельном переходе в равенстве). Если значения функций и в окрестности некоторой точки равны, то и их пределы в этой точке совпадают:
ТЕОРЕМА 2
(О предельном переходе в неравенстве). Если в окрестности некоторой точки значения функции не превосходят соответствующих значений функции , то и предел функции в этой точке не превосходит предела функции в этой же точке:
ТЕОРЕМА 3
Предел константы равен этой константе:
Пример:
ТЕОРЕМА 4
Если функция имеет предел, то он единственный.
ТЕОРЕМА 5
Если каждое слагаемое в сумме/разности функций имеет предел при , то и сумма/разность имеет предел при , причем предел суммы/разности равен сумме/разности пределов от каждой из функций:
Пример:
ТЕОРЕМА 6
Если каждый из функций в конечном произведении имеет предел при , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов:
Пример:
ТЕОРЕМА 7
Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
Пример:
ТЕОРЕМА 8
Если функции и имеют предел при , причем , то и их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов:
Пример:
ТЕОРЕМА 9
Если функция имеет предел при , то ее можно представить как сумму числа и бесконечно малой функции при .
ТЕОРЕМА 10
Если функцию можно представить как сумму некоторого числа и некоторой бесконечно малой функции при , то указанное число является пределом функции при .