Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Основные теоремы о пределах функции

ТЕОРЕМА 1
(О предельном переходе в равенстве). Если значения функций f\left( x \right) и g\left( x \right) в окрестности некоторой точки a равны, то и их пределы в этой точке совпадают:

    \[f\left( x \right)=g\left( x \right)\Rightarrow \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)\]

ТЕОРЕМА 2
(О предельном переходе в неравенстве). Если в окрестности некоторой точки a значения функции f\left( x \right) не превосходят соответствующих значений функции g\left( x \right), то и предел функции f\left( x \right) в этой точке не превосходит предела функции g\left( x \right) в этой же точке:

    \[f\left( x \right)\le g\left( x \right)\Rightarrow \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\le \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)\]

ТЕОРЕМА 3
Предел константы равен этой константе:

    \[\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,C=C,\ C=\text{const}\]

Пример: \underset{x\to 10}{\mathop{\lim }}\,13=13

ТЕОРЕМА 4
Если функция f\left( x \right) имеет предел, то он единственный.
ТЕОРЕМА 5
Если каждое слагаемое в сумме/разности функций имеет предел при x\to a, то и сумма/разность имеет предел при x\to a, причем предел суммы/разности равен сумме/разности пределов от каждой из функций:

    \[\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right)-h\left( x \right) \right]=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)+\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)-\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,h\left( x \right)\]

Пример: \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}-\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,3x+\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,2={{0}^{2}}-3\cdot 0+2=2

ТЕОРЕМА 6
Если каждый из функций в конечном произведении имеет предел при x\to a, то и произведение имеет предел при x\to a, причем предел произведения равен произведению пределов:

    \[\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\left[ f\left( x \right)\cdot g\left( x \right)\cdot h\left( x \right) \right]=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\cdot \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)\cdot \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,h\left( x \right)\]

Пример: \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}\cdot \sin x \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}\cdot \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sin x={{0}^{2}}\cdot \sin 0=0

ТЕОРЕМА 7
Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

    \[\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,Cf\left( x \right)=C\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\]

Пример: \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,2{{x}^{2}}=2\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}=2\cdot {{1}^{2}}=2

ТЕОРЕМА 8
Если функции f\left( x \right) и g\left( x \right) имеют предел при x\to a, причем \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)\ne 0, то и их частное имеет предел при x\to a, причем предел частного равен частному пределов:

    \[\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\frac{\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)}{\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)};\ \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)\ne 0\]

Пример:

    \[\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{{{x}^{2}}-3}=\frac{\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( x+1 \right)}{\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-3 \right)}=\frac{2+1}{{{2}^{2}}-3}=\frac{3}{4-3}=\frac{3}{1}=3\]

ТЕОРЕМА 9
Если функция f\left( x \right) имеет предел b при x\to +\infty, то ее можно представить как сумму числа b и бесконечно малой функции при x\to +\infty.
ТЕОРЕМА 10
Если функцию f\left( x \right) можно представить как сумму некоторого числа b и некоторой бесконечно малой функции при x\to +\infty, то указанное число b является пределом функции f\left( x \right) при x\to +\infty.