Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Точки разрыва функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если в точке x=a функция y=f\left( x \right) не является непрерывной, то эта точка называется точкой разрыва функции.

Классификация точек разрыва функции

Точка x=a называется точкой устранимого разрыва функции y=f\left( x \right), если в этой точке односторонние пределы конечны и равны между собой, но не равны значению функции в этой точке; или функция в точке x=a не определена (рис. 1).

Рис. 1

    \[f\left( a+0 \right)=f\left( a-0 \right)\ne f\left( a \right)\vee \not{\exists }\,f\left( a \right)\]

Точка x=a называется точкой разрыва первого рода функции y=f\left( x \right), если в этой точке односторонние пределы конечны и не равны между собой (рис. 2).

    \[f\left( a+0 \right)\ne f\left( a-0 \right)\]

Рис. 2

Модуль разности значений односторонних пределов \left| f\left( a+0 \right)-f\left( a-0 \right) \right| называется скачком функции.

Пример. На рисунке 2 скачок функции равен \left| 2-1 \right|=2

Точка x=a называется точкой разрыва второго рода функции y=f\left( x \right), если в этой точке, по крайней мере, один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует (рис. 3).

Рис. 3

Примеры решения задач

ПРИМЕР
Задание Исследовать функцию на непрерывность и классифицировать точки разрыва.

    \[ y=\frac{5x-12}{{{x}^{2}}+11x+30} \]

Решение Функция является непрерывной как отношение двух непрерывных функций (многочленов), разрыв может быть лишь в точках, в которых знаменатель обращается в нуль, то есть

    \[{{x}^{2}}+11x+30=0\Rightarrow {{x}_{1}}=-5,\ {{x}_{2}}=-6\]

Итак, если разрыв есть, то он может быть лишь в точках {{x}_{1}}=-5,\ {{x}_{2}}=-6. Исследуем функцию на непрерывность в этих точках. Для этого найдем односторонние пределы:

    \[f\left( -5-0 \right)=\underset{x\to -5-0}{\mathop{\lim }}\,\frac{5x-12}{{{x}^{2}}+11x+30}=\]

    \[\left[ \frac{5\cdot \left( -5-0 \right)-12}{{{\left( -5-0 \right)}^{2}}+11\cdot \left( -5-0 \right)+30}=\frac{-37}{25-55-0+30}=\frac{-37}{-0} \right]=+\infty \]

аналогично

    \[f\left( -5+0 \right)=\underset{x\to -5+0}{\mathop{\lim }}\,\frac{5x-12}{{{x}^{2}}+11x+30}=\left[ \frac{-37}{+0} \right]=-\infty \]

Поскольку односторонние пределы бесконечны, то в точке {{x}_{1}}=-5 функция имеет разрыв второго рода.

Аналогично для второй точки {{x}_{2}}=-6:

    \[f\left( -6-0 \right)=\underset{x\to -6-0}{\mathop{\lim }}\,\frac{5x-12}{{{x}^{2}}+11x+30}=-\infty , \]

    \[f\left( -6+0 \right)=\underset{x\to -6+0}{\mathop{\lim }}\,\frac{5x-12}{{{x}^{2}}+11x+30}=+\infty \]

то есть и точка {{x}_{2}}=-6 – точка разрыва другого роду.

Ответ Функция терпит разрыв второго рода в точках {{x}_{1}}=-5,\ {{x}_{2}}=-6
ПРИМЕР
Задание Исследовать функцию на непрерывность и сделать схематический чертеж.

    \[ y=\left\{ \begin{matrix} & x^{2}-1,\ x\le 2, \\ & 7,\ x>2 \\ \end{matrix} \right. \]

Решение На каждом из промежутков \left( -\infty ;\ 2 \right); \quad \left( 2;\ +\infty  \right) функция задается элементарными функциями, поэтому разрыв может быть только лишь на концах промежутков, а именно в точке x=2. Исследуем функцию на непрерывность в этой точке. Найдем односторонние пределы:

    \[f\left( 2-0 \right)=\underset{x\to 2-}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-1 \right)=3, \quad f\left( 2+0 \right)=\underset{x\to 2+}{\mathop{\lim }}\,7=7\]

Так як f\left( 2-0 \right)\ne f\left( 2+0 \right), то точка x=2 является точкой разрыва первого рода.

Сделаем схематический чертеж (рис. 4).

Рис. 4