Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Расширенная матрица

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Расширенная матрица – это краткая запись системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Пусть задана СЛАУ

    \[\left\{ \begin{matrix}    a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}  \\    a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2}x_{n}=b_{2}  \\    \ldots \ \ldots \ \ldots \ \ldots \ \ldots \ \ldots \ldots \ \ldots \ \ldots \   \\    a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\ldots +a_{mn}x_{n}=b_{m}  \\ \end{matrix} \right.\]

Матрица A, составленная из коэффициентов при неизвестных x_{1},x_{2}\ldots x_{n}, называется основной матрицей системы или матрицей системы:

    \[A=\left( \begin{matrix}    a_{11} & a_{12} & \ldots  & a_{1n}  \\    a_{21} & a_{22} & \ldots  & a_{2n}  \\    \ldots  & \ldots  & \ldots  & \ldots   \\    a_{m1} & a_{m2} & \ldots  & a_{mn}  \\ \end{matrix} \right)\]

Матрица \overline{A}, полученная из основной матрицы, дописыванием справа столбца свободных членов, называется расширенной матрицей СЛАУ:

    \[\overline{A}=\left( \begin{matrix}    a_{11} & a_{12} & \ldots  & a_{1n}  \\    a_{21} & a_{22} & \ldots  & a_{2n}  \\    \ldots  & \ldots  & \ldots  & \ldots   \\    a_{m1} & a_{m2} & \ldots  & a_{mn}  \\ \end{matrix}\left| \begin{matrix}    \ b_{1}  \\    b_{2}  \\    \ldots   \\    b_{m}  \\ \end{matrix} \right. \right)\]

Примеры решения задач с расширенными матрицами

ПРИМЕР 1
Задание Выписать основную и расширенную матрицы следующей системы линейных уравнений

    \[\left\{ \begin{matrix}    2x_{1}-x_{2}+3x_{3}=1  \\    -x_{1}+x_{2}-2x_{3}=2  \\    x_{1}-3x_{2}+3x_{3}=0  \\ \end{matrix} \right \]

Решение Составим основную матрицу из коэффициентов при неизвестных

    \[A=\left( \begin{matrix}    2 & -1 & 3  \\    -1 & 1 & -2  \\    1 & -3 & 3  \\ \end{matrix} \right)\]

Дописав справа от основной матрицы столбец свободных членов, получим расширенную матрицу:

    \[\overline{A}=\left( \begin{matrix}    2 & -1 & 3  \\    -1 & 1 & -2  \\    1 & -3 & 3  \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix}    1  \\    2  \\    0  \\ \end{matrix} \right. \right)\]

Ответ