Теорема Кронекера-Капелли

Рассмотрим систему $m$ линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с $n$ неизвестными:

$\begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \ldots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \ldots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\ ................................................. \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \ldots + a_{mn}x_{n} = b_{m} \end{cases}$

Выпишем основную матрицу этой системы $A$ и расширенную матрицу $\overline{A}$ :

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \text{ },\text{ } \overline{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_{1}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_{2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}& b_{m} \end{pmatrix}$

ТЕОРЕМА

СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы $A$ равен рангу её расширенной матрицы $\overline{A}$ :

$r(A) = r(\overline{A})$

Причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных $r(A) = r(\overline{A}) = n$ и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных $r(A) = r(\overline{A}) < n$ .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Рангом матрицы называется максимальное количество линейно независимых строк этой системы.

Ранг матрицы есть наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Правило вычисления ранга матрицы с помощью миноров

При нахождении ранга матрицы необходимо переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. При этом если найден минор $k$ -го порядка, определитель которого отличен от нуля, то требуется вычислить лишь миноры $(k+1)$ -го порядка окаймляющие этот минор $k$ -го порядка. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен $k$ .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Исследовать систему на совместность:

$\begin{cases} 2x_{1}-x_{2}-3x_{3}+x_{4}=1 \\ x_{1}+2x_{2}+4x_{3}-x_{4}=2 \\ 4x_{1}+3x_{2}+5x_{3}-x_{4}=5 \end{cases}$

Решение

Выпишем основную и расширенную матрицы заданной системы

$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & -1 \\ 4 & 3 & 5 & -1 \end{pmatrix} \text{ },\text{ } \overline{A} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & -1 & 2 \\ 4 & 3 & 5 & -1 & 5 \end{pmatrix}$

Вычислим ранги этих матриц с помощью миноров. Выберем ненулевой минор второго порядка матрицы $A$ :

$M_{12}^{12} = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1) = 5 \neq 0$

Рассмотри миноры третьего порядка, окаймляющие данный минор $M_{12}^{12}$ и вычислим их определители:

$M_{123}^{123} = \begin{vmatrix} 2 & -1 & -3\\ 1 & 2 & 4\\ 4 & 3 & 5 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 \cdot 5 + (-1) \cdot 4 \cdot 4 + (-3)\cdot 1 \cdot 3 - (-3) \cdot 2 \cdot 4 - (-1) \cdot 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 \cdot 3 = 0$

$M_{124}^{123} = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1\\ 1 & 2 & -1\\ 4 & 3 & -1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) \cdot 4 + 1 \cdot 1 \cdot 3 -1 \cdot 2 \cdot 4 - (-1) \cdot 1 \cdot (-1) - 2 \cdot (-1) \cdot 3= 0$

Таким образом, ранг основной матрицы $r(A)=2$ . Для расширенной матрицы существует еще один окаймляющий минор

$M_{125}^{123} = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1\\ 1 & 2 & 2\\ 4 & 3 & 1 \end{vmatrix} = -20 \neq 0$

Его определитель не равен нулю, таким образом, ранг расширенной матрицы $r(\overline{A})=3$ . По теореме Кронекера-Капелли, так как $r(A) \neq r(\overline{A})$ , то заданная система линейных алгебраических уравнений не совместна и решений не имеет.

Ответ

Данная система линейных алгебраических уравнений решений не имеет.

ПРИМЕР 2

Задание

Проверить, совместна ли система , если да, найти её решение:

$\begin{cases} x+y+z=2 \\ 2x-2y+z=6 \\ x-y-z=0 \end{cases}$

Решение

Выпишем основную и расширенную матрицы заданной системы

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \text{ },\text{ } \overline{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2\\ 2 & -2 & 1 & 6 \\ 1 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

Вычислим ранги этих матриц с помощью элементарных преобразований строк. Рассмотрим расширенную матрицу $\overline{A}$ . Первую строку оставим без изменения, ко второй строке прибавим первую, умноженную на $(-2)$ , к третьей строке прибавим первую, умноженную на $(-1)$ , получим:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2\\ 2 & -2 & 1 & 6 \\ 1 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2\\ 0 & -4 & -1 & 2 \\ 0 & -2 & -2 & -2 \end{pmatrix}$

Далее первую строку оставим без изменения, третью строку сократим на $(-2)$ и переставим вторую и третью строки, получим:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2\\ 0 & -4 & -1 & 2 \\ 0 & -2 & -2 & -2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

Первые две строки оставим без изменения, к третьей прибавим вторую, умноженную на 4:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -1 & 2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 6 \end{pmatrix}$

Таким образом, матрицы $A$ и $\overline{A}$ имеют по три линейно независимые строки, поэтому их ранги равны $r(A) = r(\overline{A})=3$ . По теореме Кронекера-Капелли, так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрице и равен количеству неизвестных, то данная система имеет единственное решение. Найдем его. Для этого, используя последнюю матрицу, перейдем к системе уравнений

$\begin{cases} x+y+z=2 \\ y+z=1 \\ 3z=6 \end{cases}$

Вычислим последовательно значения неизвестных. Из последнего уравнения получаем, что $z=2$ . Подставляя это значение неизвестной во второе уравнение, будем иметь:

$y+2=1 \text{ } \Rightarrow \text{ } y=-1$

Теперь подставим значения найденных неизвестных в первое уравнение:

$x+(-1)+2=2 \text{ } \Rightarrow \text{ } x=1$

Ответ

$x=1, y=-1, z=2$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Теорема Кронекера-Капелли

Правило вычисления ранга матрицы с помощью миноров

Примеры решения задач