Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Теорема Кронекера-Капелли

Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными:

    \[ \begin{cases}  a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \ldots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\  a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \ldots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\  .................................................  \\  a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \ldots + a_{mn}x_{n} = b_{m} \end{cases} \]

Выпишем основную матрицу этой системы A и расширенную матрицу \overline{A}:

    \[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\          \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \text{ },\text{ } \overline{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_{1}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_{2}\\          \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}& b_{m} \end{pmatrix} \]

ТЕОРЕМА
СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы A равен рангу её расширенной матрицы \overline{A}:

    \[    r(A) = r(\overline{A}) \]

Причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных r(A) = r(\overline{A}) = n и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных r(A) = r(\overline{A}) < n.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Рангом матрицы называется максимальное количество линейно независимых строк этой системы.

Ранг матрицы есть наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Правило вычисления ранга матрицы с помощью миноров

При нахождении ранга матрицы необходимо переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. При этом если найден минор k-го порядка, определитель которого отличен от нуля, то требуется вычислить лишь миноры (k+1)-го порядка окаймляющие этот минор k-го порядка. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Исследовать систему на совместность:

    \[ \begin{cases} 2x_{1}-x_{2}-3x_{3}+x_{4}=1 \\ x_{1}+2x_{2}+4x_{3}-x_{4}=2 \\ 4x_{1}+3x_{2}+5x_{3}-x_{4}=5 \end{cases} \]

Решение Выпишем основную и расширенную матрицы заданной системы

    \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & -1  \\      4 & 3 & 5 & -1 \end{pmatrix} \text{ },\text{ } \overline{A} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & -1 & 2 \\      4 & 3 & 5 & -1 & 5 \end{pmatrix} \]

Вычислим ранги этих матриц с помощью миноров. Выберем ненулевой минор второго порядка матрицы A:

    \[ M_{12}^{12} =  \begin{vmatrix}  2 & -1 \\  1 & 2  \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1) = 5 \neq 0 \]

Рассмотри миноры третьего порядка, окаймляющие данный минор M_{12}^{12} и вычислим их определители:

    \[ M_{123}^{123} =  \begin{vmatrix}  2 & -1 & -3\\  1 & 2 & 4\\  4 & 3 & 5 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 \cdot 5 + (-1) \cdot 4 \cdot 4 + (-3)\cdot 1 \cdot 3 - (-3) \cdot 2 \cdot 4 - (-1) \cdot 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 \cdot 3 = 0 \]

    \[ M_{124}^{123} =  \begin{vmatrix}  2 & -1 & 1\\  1 & 2 & -1\\  4 & 3 & -1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) \cdot 4 + 1 \cdot 1 \cdot 3 -1 \cdot 2 \cdot 4 - (-1) \cdot 1 \cdot (-1) - 2 \cdot (-1) \cdot 3= 0 \]

Таким образом, ранг основной матрицы r(A)=2. Для расширенной матрицы существует еще один окаймляющий минор

    \[ M_{125}^{123} =  \begin{vmatrix}  2 & -1 & 1\\  1 & 2 & 2\\  4 & 3 & 1 \end{vmatrix} = -20 \neq 0 \]

Его определитель не равен нулю, таким образом, ранг расширенной матрицы r(\overline{A})=3. По теореме Кронекера-Капелли, так как r(A) \neq r(\overline{A}), то заданная система линейных алгебраических уравнений не совместна и решений не имеет.

Ответ Данная система линейных алгебраических уравнений решений не имеет.
ПРИМЕР 2
Задание Проверить, совместна ли система , если да, найти её решение:

    \[ \begin{cases} x+y+z=2 \\ 2x-2y+z=6 \\ x-y-z=0 \end{cases} \]

Решение Выпишем основную и расширенную матрицы заданной системы

    \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 &  1 \\ 2 & -2 & 1  \\      1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \text{ },\text{ } \overline{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 &  1 & 2\\ 2 & -2 & 1 & 6 \\      1 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \]

Вычислим ранги этих матриц с помощью элементарных преобразований строк. Рассмотрим расширенную матрицу \overline{A}. Первую строку оставим без изменения, ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-2), к третьей строке прибавим первую, умноженную на (-1), получим:

    \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 &  1 & 2\\ 2 & -2 & 1 & 6 \\      1 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 &  1 & 2\\ 0 & -4 & -1 & 2 \\      0 & -2 & -2 & -2 \end{pmatrix} \]

Далее первую строку оставим без изменения, третью строку сократим на (-2) и переставим вторую и третью строки, получим:

    \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 &  1 & 2\\ 0 & -4 & -1 & 2 \\      0 & -2 & -2 & -2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 &  1 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1 \\      0 & -4 & -1 & 2 \end{pmatrix} \]

Первые две строки оставим без изменения, к третьей прибавим вторую, умноженную на 4:

    \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 &  1 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1 \\      0 & -4 & -1 & 2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 &  1 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1 \\      0 & 0 & 3 & 6 \end{pmatrix} \]

Таким образом, матрицы A и \overline{A} имеют по три линейно независимые строки, поэтому их ранги равны r(A) = r(\overline{A})=3. По теореме Кронекера-Капелли, так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрице и равен количеству неизвестных, то данная система имеет единственное решение. Найдем его. Для этого, используя последнюю матрицу, перейдем к системе уравнений

    \[ \begin{cases} x+y+z=2 \\ y+z=1 \\ 3z=6 \end{cases} \]

Вычислим последовательно значения неизвестных. Из последнего уравнения получаем, что z=2. Подставляя это значение неизвестной во второе уравнение, будем иметь:

    \[    y+2=1 \text{ } \Rightarrow \text{ } y=-1 \]

Теперь подставим значения найденных неизвестных в первое уравнение:

    \[    x+(-1)+2=2 \text{ } \Rightarrow \text{ } x=1 \]

Ответ x=1, y=-1, z=2