Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Применение метода Гаусса в матричном исчислении

Метод Гаусса используется для решения систем линейных уравнений и для нахождения обратной матрицы. Начнем с нахождения обратной матрицы.

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом Гаусса

1. Пусть задана квадратная матрица

    \[A=\left( \begin{matrix}    a_{11} & a_{12} & \ldots  & {a}_{1n}  \\    {a}_{21} & {a}_{22} & \ldots  & {a}_{2n}  \\    \ldots  & \ldots  & \ldots  & \ldots   \\    {a}_{n1} & {a}_{n2} & \ldots  & {a}_{nn}  \\ \end{matrix} \right)\]

припишем к столбцам матрицы A справа столбцы единичной матрицы того же порядка. Получим матрицу

    \[M=\left( \begin{matrix}    a_{11}} & a_{12} & \ldots  & a_{1n}  \\    a_{21} & a_{22} & \ldots  & a_{2n}  \\    \ldots  & \ldots  & \ldots  & \ldots   \\    a_{n1} & a_{n2} & \ldots  & a_{nn}  \\ \end{matrix}\left| \begin{matrix}    1 & 0 & \ldots  & 0  \\    0 & 1 & \ldots  & 0  \\    \ldots  & \ldots  & \ldots  & \ldots   \\    0 & 0 & \ldots  & 1  \\ \end{matrix} \right. \right)\]

2. С помощью элементарных преобразований строк приведем матрицу M к матрице, в левой части которой будет стоять единичная матрица:

    \[N=\left( \begin{matrix}    1 & 0 & \ldots  & 0  \\    0 & 1 & \ldots  & 0  \\    \ldots  & \ldots  & \ldots  & \ldots   \\    0 & 0 & \ldots  & 1  \\ \end{matrix}\left| \begin{matrix}    {{b}_{11} & b_{12} & \ldots  & b_{1n}  \\    b_{21} & b_{22} & \ldots  & b_{2n}  \\    \ldots  & \ldots  & \ldots  & \ldots   \\    \ b_{n1} & b_{n2} & \ldots  & b_{nn}  \\ \end{matrix} \right. \right)\]

3. Полученная таким образом матрица, стоящая в правой части матрицы N, и будет обратной матрицей к матрице A

    \[{{A}^{-1}=\left( \begin{matrix}    b_{11} & b_{12} & \ldots  & b_{1n}  \\    b_{21} & b_{22} & \ldots  & b_{2n}  \\    \ldots  & \ldots  & \ldots  & \ldots   \\    b_{n1} & b_{n2} & \ldots  & b_{nn}  \\ \end{matrix} \right)\]

ПРИМЕР 1
Задание Найти обратную матрицу к матрице A методом Гаусса

    \[ A=\left( \begin{matrix}    1 & 2 & -1  \\    3 & 0 & 2  \\    4 & -2 & 5  \\ \end{matrix} \right) \]

Решение Припишем исходной матрице A справа единичную матрицу третьего порядка. Получим вспомогательную матрицу

    \[M=\left( \begin{matrix}    1 & 2 & -1  \\    3 & 0 & 2  \\    4 & -2 & 5  \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix}    1 & 0 & 0  \\    0 & 1 & 0  \\    0 & 0 & 1  \\ \end{matrix} \right. \right)\]

Приведем матрицу M с помощью элементарных преобразований строк, к матрице, в которой единичная матрица будет слева. Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на \left( -3 \right), а к третьей строке первую, умноженную на \left( -4 \right):

    \[M=\left( \begin{matrix}    1 & 2 & -1  \\    3 & 0 & 2  \\    4 & -2 & 5  \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix}    1 & 0 & 0  \\    0 & 1 & 0  \\    0 & 0 & 1  \\ \end{matrix} \right. \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix}    1 & 2 & -1  \\    0 & -6 & 5  \\    0 & -10 & 9  \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix}    1 & 0 & 0  \\    -3 & 1 & 0  \\    -4 & 0 & 1  \\ \end{matrix} \right. \right)\]

Разделим все элементы второй строки на \left( -6 \right):

    \[\left( \begin{matrix}    1 & 2 & -1  \\    0 & -6 & 5  \\    0 & -10 & 9  \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix}    1 & 0 & 0  \\    -3 & 1 & 0  \\    -4 & 0 & 1  \\ \end{matrix} \right. \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix}    1 & 2 & -1  \\    0 & 1 & -{5}/{6}\;  \\    0 & -10 & 9  \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix}    1 & 0 & 0  \\    {1}/{2}\; & -{1}/{6}\; & 0  \\    -4 & 0 & 1  \\ \end{matrix} \right. \right)\]

Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на 10:

    \[\left( \begin{matrix}    1 & 2 & -1  \\    0 & 1 & -{5}/{6}\;  \\    0 & -10 & 9  \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix}    1 & 0 & 0  \\    {1}/{2}\; & -{1}/{6}\; & 0  \\    -4 & 0 & 1  \\ \end{matrix} \right. \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix}    1 & 2 & -1  \\    0 & 1 & -5/6\;  \\    0 & 0 & 2/3\;  \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix}    1 & 0 & 0  \\    1/2\; & -1/6\; & 0  \\    1 & -5/3\; & 1  \\ \end{matrix} \right. \right)\]

Умножим третью строку на 3/2\;:

    \[\left( \begin{matrix}    1 & 2 & -1  \\    0 & 1 & -5/6\;  \\    0 & 0 & 2/3\;  \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix}    1 & 0 & 0  \\    1/2\; & -1/6\; & 0  \\    1 & -5/3\; & 1  \\ \end{matrix} \right. \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix}    1 & 2 & -1  \\    0 & 1 & -5/6\;  \\    0 & 0 & 1  \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix}    1 & 0 & 0  \\    1/2\; & -1/6\; & 0  \\    3/2\; & -5/2\; & 3/2\;  \\ \end{matrix} \right. \right)\]

Прибавим к первой строке вторую, умноженную на \left( -2 \right), а ко второй третью, умноженную на 5/6\;:

    \[\left( \begin{matrix}    1 & 2 & -1  \\    0 & 1 & -5/6\;  \\    0 & 0 & 1  \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix}    1 & 0 & 0  \\    1/2\; & -1/6\; & 0  \\    3/2\; & -5/2\; & 3/2\;  \\ \end{matrix} \right. \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix}    1 & 0 & 2/3\;  \\    0 & 1 & 0  \\    0 & 0 & 1  \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix}    0 & 1/3\; & 0  \\    7/4\; & -9/4\; & 5/4\;  \\    3/2\; & -5/2\; & 3/2\;  \\ \end{matrix} \right. \right)\]

К первой строке прибавим третью, умноженную на \left( -2/3\; \right):

    \[\left( \begin{matrix}    1 & 0 & 2/3\;  \\    0 & 1 & 0  \\    0 & 0 & 1  \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix}    0 & 1/3\; & 0  \\    7/4\; & -9/4\; & 5/4\;  \\    3/2\; & -5/2\; & 3/2\;  \\ \end{matrix} \right. \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix}    1 & 0 & 0  \\    0 & 1 & 0  \\    0 & 0 & 1  \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix}    -1 & 2 & -1  \\    7/4\; & -9/4\; & 5/4\;  \\    3/2\; & -5/2\; & 3/2\;  \\ \end{matrix} \right. \right)\]

Тогда обратная матрица равна A^{-1}=\left( \begin{matrix}    -1 & 2 & -1  \\    7/4\; & -9/4\; & 5/4\;  \\    3/2\; & -5/2\; & 3/2\;  \\ \end{matrix} \right).

Ответ

Алгоритм применения метода Гаусса для решения СЛУ

Пусть задана система линейных уравнений

    \[\left\{ \begin{matrix}    a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}  \\    a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2}x_{n}=b_{2}  \\    \ldots \ \ldots \ \ldots \ \ldots \ \ldots \ \ldots \ldots \ \ldots \ \ldots \   \\    a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\ldots +a_{nn}x_{n}=b_{n}  \\ \end{matrix} \right.\]

Записывается матрица \overline{A}расширенная матрица этой системы:

    \[\overline{A}=\left( \begin{matrix}    a_{11} & a_{12} & \ldots  & a_{1n}  \\    a_{21} & a_{22} & \ldots  & a_{2n}  \\    \ldots  & \ldots  & \ldots  & \ldots   \\    a_{n1} & a_{n2} & \ldots  & a_{nn}  \\ \end{matrix}\left| \begin{matrix}    \ b_{1}  \\    b_{2}  \\    \ldots   \\    b_{n}  \\ \end{matrix} \right. \right)\]

Над строками матрицы \overline{A} производятся элементарные преобразования: разрешается изменять порядок строк, умножать строки на любые отличные от нуля числа и прибавлять к любой строке матрицы \overline{A} любую другую её строку, умноженное на произвольное число. В результате таких элементарных преобразований основная матрица системы A должна быть приведена к нижнему треугольному виду

    \[\overline{A}=\left( \begin{matrix}    1 & a'_{12} & \ldots  & a'_{1n}  \\    0 & 1 & \ldots  & a'_{2n}  \\    \ldots  & \ldots  & \ldots  & \ldots   \\    0 & 0 & \ldots  & 1  \\ \end{matrix}\left| \begin{matrix}    \ b'_{1}  \\    b'_{2}  \\    \ldots   \\    b'_{n}  \\ \end{matrix} \right. \right)\]

Эта матрица эквивалентна системе линейных уравнений

    \[\left\{ \begin{array}{rcl}    x_{1} + a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}  \\    x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}  \\    \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots   \\    x_{n}=b_{n}  \\ \end{array} \right.\]

Из этой системы последовательно снизу вверх выражаются все неизвестные переменные.

ПРИМЕР 2
Задание Решить методом Гаусса систему линейных уравнений

    \[\left\{ \begin{matrix}    x_{1}-2x_{2}+3x_{3}=10  \\    2x_{1}+3x_{2}+x_{3}=-1  \\    3x_{1}-x_{2}+2x_{3}=13  \\ \end{matrix} \right.\]

Решение Запишем расширенную матрицу для заданной системы уравнений

    \[\overline{A}=\left( \begin{matrix}    1 & -2 & 3  \\    2 & 3 & -1  \\    3 & -1 & 2  \\ \end{matrix}\ \left| \ \begin{matrix}    10  \\    -1  \\    13  \\ \end{matrix} \right. \right)\]

Произведем над строками полученной матрицы элементарные преобразования. Ко второй строке прибавим первую, умноженную на \left( -2 \right), а к третьей прибавим первую умноженную на \left( -3 \right).

    \[\overline{A}=\left( \begin{matrix}    1 & -2 & 3  \\    2 & 3 & -1  \\    3 & -1 & 2  \\ \end{matrix}\ \left| \ \begin{matrix}    10  \\    -1  \\    13  \\ \end{matrix} \right. \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix}    1 & -2 & 3  \\    0 & 7 & -7  \\    0 & 5 & -7  \\ \end{matrix}\ \left| \ \begin{matrix}    10  \\    -21  \\    -17  \\ \end{matrix} \right. \right)\]

Умножим вторую строку на \frac{1}{7}:

    \[\left( \begin{matrix}    1 & -2 & 3  \\    0 & 7 & -7  \\    0 & 5 & -7  \\ \end{matrix}\ \left| \ \begin{matrix}    10  \\    -21  \\    -17  \\ \end{matrix} \right. \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix}    1 & -2 & 3  \\    0 & 1 & -1  \\    0 & 5 & -7  \\ \end{matrix}\ \left| \ \begin{matrix}    10  \\    -3  \\    -17  \\ \end{matrix} \right. \right)\]

К третьей строке прибавим вторую, умноженную на \left( -5 \right):

    \[\left( \begin{matrix}    1 & -2 & 3  \\    0 & 1 & -1  \\    0 & 5 & -7  \\ \end{matrix}\ \left| \ \begin{matrix}    10  \\    -3  \\    -17  \\ \end{matrix} \right. \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix}    1 & -2 & 3  \\    0 & 1 & -1  \\    0 & 0 & -2  \\ \end{matrix}\ \left| \ \begin{matrix}    10  \\    -3  \\    -2  \\ \end{matrix} \right. \right)\]

Умножим третью строку на \left( -\frac{1}{2} \right):

    \[\left( \begin{matrix}    1 & -2 & 3  \\    0 & 1 & -1  \\    0 & 0 & -2  \\ \end{matrix}\ \left| \ \begin{matrix}    10  \\    -3  \\    -2  \\ \end{matrix} \right. \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix}    1 & -2 & 3  \\    0 & 1 & -1  \\    0 & 0 & 1  \\ \end{matrix}\ \left| \ \begin{matrix}    10  \\    -3  \\    1  \\ \end{matrix} \right. \right)\]

Перейдем от матрицы снова к системе

    \[\left\{ \begin{array}{rcl}    x_{1}-2x_{2}+3x_{3}=10  \\    \qquad \qquad x_{2}-{{x}_{3}=-3  \\    \qquad \qquad \qquad x_{3}=1  \\ \end{array} \right.\]

Из последнего уравнения системы находим x_{3}=1, подставляя это значение во второе уравнение, находим, что

    \[x_{2}-1=-3\quad \Rightarrow \quad x_{2}=-2\]

Подставляя найденные значения переменных в первое уравнение, получим:

    \[x_{1}-2\cdot \left( -2 \right)+3\cdot 1=10\ \quad \Rightarrow \quad x_{1}+4+3=10\quad \Rightarrow \quad x_{1}=3\]

Ответ x_{1}=3, \text{ } x_{2}=-2, \text{ }x_{3}=1