Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Примеры решения систем методом Крамера

Метод Крамера – это метод решения систем линейных уравнений. Он применяется только к системам линейных уравнений, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель отличен от нуля.

Любая крамеровская система уравнений  n \times m имеет единственное решение (x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}) , которое определяется формулами

    \[    x_{i} = \frac{\Delta _{i}}{\Delta} \]

где \Delta _{i} – определитель матрицы, полученной из основной матрицы A заменой i-го столбца на столбец свободных членов системы, а \Delta – определитель основной матрицы. Эта формула называется формулой Крамера.

Примеры

ПРИМЕР 1
Задание Решить систему методом Крамера

    \[ \begin{cases} x-2y=1 \hfill \\ 3x-4y=7 \end{cases} \]

Решение Запишем основную матрицу системы

    \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -4  \end{pmatrix} \]

Найдем её определитель

    \[ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-4) -3 \cdot (-2) = -4+6=2 \neq 0 \]

Определитель \Delta \neq 0 , следовательно, заданная система может быть решена методом Крамера.

Вычислим определитель \Delta _{x} , для этого заменим первый столбец в основной матрице на столбец свободных членов B = \begin{pmatrix} 1  \\ 7  \end{pmatrix} , получим

    \[ \Delta _{x}= \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 7 & -4 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-4) -7 \cdot (-2) = -4+14=10 \]

Аналогично, заменяя второй столбец основной матрицы на B = \begin{pmatrix} 1  \\ 7  \end{pmatrix} , найдем \Delta _{y} :

    \[ \Delta _{x}= \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 7 \end{vmatrix} = 1 \cdot 7 -3 \cdot 1 = 7-3=4 \]

Далее по формуле Крамера находим неизвестные переменные:

    \[    x = \frac{\Delta _{x}}{\Delta} = \frac{10}{2} = 5 \text{ };\text{ } y = \frac{\Delta _{y}}{\Delta} = \frac{4}{2} = 2 \]

Ответ x=5 \text{ };\text{ } y=2
ПРИМЕР 2
Задание Решить систему методом Крамера

    \[ \begin{cases} 2x_{1}+3x_{2}+1=0 \\ 3x_{1}+4x_{2}+1=0 \end{cases} \]

Решение В уравнениях системы перенесем свободный член вправо:

    \[ \begin{cases} 2x_{1}+3x_{2}=-1\\ 3x_{1}+4x_{2}=-1 \end{cases} \]

Тогда основная матрица A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} , а столбец свободных членов B = \begin{pmatrix} -1  \\ -1 \end{pmatrix} .

Найдем определитель матрицы системы:

    \[ \Delta = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot 4 -3 \cdot 3 = 8-9=-1 \]

Определитель \Delta \neq 0 , следовательно, система имеет единственное решение и может быть решена методом Крамера. Заменяя первый столбец на столбец свободных членов, найдем, что

    \[ \Delta _{1}= \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = -1 \cdot 4 - (-1) \cdot 3 = -4+3=-1 \]

Заменяя второй столбец основной матрицы на столбец B = \begin{pmatrix} -1  \\ -1 \end{pmatrix} , получаем:

    \[ \Delta _{2}= \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-1) -3 \cdot (-1) = -2+3=1 \]

Тогда, по формуле Крамера, решением системы будет

    \[    x_{1} = \frac{\Delta _{1}}{\Delta} = \frac{-1}{-1} = 1 \text{ };\text{ } x_{2} = \frac{\Delta _{2}}{\Delta} = \frac{1}{-1} = -1 \]

Ответ x_{1}=1 \text{ };\text{ } x_{2}=-1
ПРИМЕР 3
Задание Решить систему методом Крамера

    \[ \begin{cases} x_{1}+x_{2}-2x_{3}=2 \\ 2x_{1}-3x_{2}-x_{3}=1 \\ x_{1}-4x_{2}+x_{3}=3 \end{cases} \]

Решение Запишем основную матрицу заданной системы

    \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1& -2 \\ 2 & -3 & -1 \\ 1 & -4 & 1 \end{pmatrix} \]

и найдем её определитель по правилу треугольника:

    \[ \Delta =  \begin{vmatrix} 1 & 1& -2 \\ 2 & -3 & -1 \\ 1 & -4 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) \cdot 1 + 1 \cdot (-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-2) \cdot (-4) - 1 \cdot (-3) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \cdot 1 - \]

    \[    - 1 \cdot (-1) \cdot (-4) = -3-1+16-6-2-4=0 \]

Определитель основной матрицы равен нулю, следовательно, к данной системе нельзя применить метод Крамера.

Ответ Данная система не может быть решена методом Крамера.
ПРИМЕР 4
Задание Решить систему линейных уравнений методом Крамера

    \[ \begin{cases} 2x+3y-z=4 \\ x+y+3z=5 \\ 3x-4y+z=0 \end{cases} \]

Решение Найдем определитель основной матрицы системы

    \[ \Delta =  \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 3 & -4 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) \cdot (-4) - 3 \cdot 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 3 \cdot 1 - \]

    \[    - 2 \cdot 3 \cdot (-4) = 2 + 27+4+3-3+24=57 \neq 0 \]

Найдем определитель \Delta _{x} , для этого подставим в последний определитель вместо первого столбца столбец свободных членов B = \begin{pmatrix} 4  \\ 5  \\ 0 \end{pmatrix} :

    \[ \Delta _{x}=  \begin{vmatrix} 4 & 3 & -1 \\ 5 & 1 & 3 \\ 0 & -4 & 1 \end{vmatrix} = 4 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 \cdot 0 + 5 \cdot (-1) \cdot (-4) - 0 \cdot 1 \cdot (-1) - 5 \cdot 3 \cdot 1 - \]

    \[    - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 4+0+20+0-15+48=57 \]

Подставляя вместо второго столбца столбец свободных членов, найдем \Delta _{y} :

    \[ \Delta _{y}=  \begin{vmatrix} 2 & 4 & -1 \\ 1 & 5 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 5 \cdot 1 + 4 \cdot 3 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) \cdot 0 - 3 \cdot 5 \cdot (-1) - 1 \cdot 4 \cdot 1 - \]

    \[    - 2 \cdot 3 \cdot 0 = 10+36+0+15-4-0=57 \]

Аналогично найдем \Delta _{z} :

    \[ \Delta _{z} =  \begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 5 \\ 3 & -4 & 0 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 \cdot 0 + 3 \cdot 5 \cdot 3 + 1 \cdot 4 \cdot (-4) - 3 \cdot 1 \cdot 4 - 1 \cdot 3 \cdot 0 - \]

    \[    - 2 \cdot 5 \cdot (-4) = 0+45-16-12-0+40=57 \]

Далее по формуле Камера находим решение заданной системы

    \[    x = \frac{\Delta _{x}}{\Delta} = \frac{57}{57} = 1 \text{ };\text{ } y = \frac{\Delta _{y}}{\Delta} = \frac{57}{57} = 1 \text{ };\text{ } z = \frac{\Delta _{z}}{\Delta} = \frac{57}{57} = 1 \]

Ответ x=1 \text{ };\text{ } y=1 \text{ };\text{ } z=1