Метод обратной матрицы

Метод обратной матрицы используется при решении систем линейных алгебраических уравнений, если число неизвестных равно числу уравнений.

Суть метода

Пусть задана система $n$ линейных уравнений с $n$ неизвестными:

$\left\{ \begin{matrix} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ \ldots \ \ldots \ \ldots \ \ldots \ \ldots \ \ldots \ldots \ \ldots \ \ldots \\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\ldots +a_{nn}x_{n}=b_{n} \\ \end{matrix} \right$

Эту систему можно записать в виде матричного уравнения $A\cdot X=B$ ,

где $A=\left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right)$ – матрица системы,

$X=\left( \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{matrix} \right)$ – столбец неизвестных,

$B=\left( \begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \\ \end{matrix} \right)$ – столбец свободных коэффициентов.

Из полученного матричного уравнения необходимо выразить $X$ . Для этого умножим обе части матричного уравнения слева на $A^{-1}$ , получим:

$A^{-1}\cdot A\cdot X=A^{-1}\cdot B$

Так как $A^{-1}\cdot A=E$ , то $E\cdot X=A^{-1}\cdot B$ или $X=A^{-1}\cdot B$ .

Далее находится обратная матрица $A^{-1}$ и умножается на столбец свободных членов $B$ .

ЗАМЕЧАНИЕ

Обратная матрица к матрице $A$ существует только при условии, что $\det A\ne 0$ . Поэтому при решении системы линейных уравнений методом обратной матрицы в первую очередь вычисляется $\det A$ . Если $\det A\ne 0$ , то система имеет единственное решение, которое можно найти методом обратной матрицы, если же $\det A=0$ , то методом обратной матрицы решить эту систему нельзя.

Пример решения методом обратной матрицы

ПРИМЕР 1

Задание

Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы

$\left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} 2x_{1}-4x_{2}+3x_{3}=1 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=3 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3x_{1}-x_{2}+5x_{3}=2 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right$

Решение

Данная система уравнений может быть записана матричным уравнением

$A\cdot X=B$

где $A=\left( \begin{matrix} 2 & -4 & 3 \\ 1 & -2 & 4 \\ 3 & -1 & 5 \\ \end{matrix} \right)$ , $X=\left( \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{matrix} \right)$ , $B=\left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)$ .

Выразив из этого уравнения $X$ , получим

$X=A^{-1}\cdot B$

Найдем определитель матрицы $A$ :

$\begin{matrix} \det A=\left| \begin{matrix} 2 & -4 & 3 \\ 1 & -2 & 4 \\ 3 & -1 & 5 \\ \end{matrix} \right|=2\cdot \left( -2 \right)\cdot 5+3\cdot \left( -4 \right)\cdot 4+3\cdot \left( -1 \right)\cdot 1-3\cdot \left( -2 \right)\cdot 3-$

$-1\cdot \left( -4 \right)\cdot 5-2\cdot 4\cdot \left( -1 \right)= -20-48-3+18+20+8=-25\ne 0. \\ \end{matrix}$

Так как $\det A\ne 0$ , то система имеет единственное решение, которое можно найти методом обратной матрицы.

Найдем обратную матрицу $A^{-1}$ с помощью союзной матрицы. Вычислим алгебраические дополнения $A_{ij}$ к соответствующим элементам матрицы $A$ :

$A_{11}={\left( -1 \right)}^{1+1}\cdot \left| \begin{matrix} -2 & 4 \\ -1 & 5 \\ \end{matrix} \right|=-10+4=-6; \qquad A_{12}={\left( -1 \right)}^{1+2}\cdot \left| \begin{matrix} 1 & 4 \\ 3 & 5 \\ \end{matrix} \right|=-\left( 5-12 \right)=7;$

$A_{13}={\left( -1 \right)}^{1+3}\cdot \left| \begin{matrix} 1 & -2 \\ 3 & -1 \\ \end{matrix} \right|=-1+6=5; \qquad A_{21}={\left( -1 \right)}^{2+1}\cdot \left| \begin{matrix} -4 & 3 \\ -1 & 5 \\ \end{matrix} \right|=-\left( -20+3 \right)=17;$

$A_{22}={\left( -1 \right)}^{2+2}\cdot \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \\ \end{matrix} \right|=10-9=1; \qquad A_{23}={\left( -1 \right)}^{2+3}\cdot \left| \begin{matrix} 2 & -4 \\ 3 & -1 \\ \end{matrix} \right|=-\left( -2+12 \right)=-10$

$A_{31}={\left( -1 \right)}^{3+1}\cdot \left| \begin{matrix} -4 & 3 \\ -2 & 4 \\ \end{matrix} \right|=-16+6=-10;$

$A_{32}={\left( -1 \right)}^{3+2}\cdot \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \\ \end{matrix} \right|=-\left( 8-3 \right)=-5; \qquad A_{33}={\left( -1 \right)}^{3+3}\cdot \left| \begin{matrix} 2 & -4 \\ 1 & -2 \\ \end{matrix} \right|=-4+4=0.$

Запишем союзную матрицу $A^{*}$ , составленную из алгебраических дополнений элементов матрицы $A$ :

$A^{*}=\left( \begin{matrix} -6 & 7 & 5 \\ 17 & 1 & -10 \\ -10 & -5 & 0 \\ \end{matrix} \right)$

Далее запишем обратную матрицу согласно формуле $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdot {\left( A^{*} \right)}^{T}$ . Будем иметь:

$A^{-1}=-\frac{1}{25}\cdot \left( \begin{matrix} -6 & 17 & -10 \\ 7 & 1 & -5 \\ 5 & -10 & 0 \\ \end{matrix} \right)$

Умножая обратную матрицу $A^{-1}$ на столбец свободных членов $B$ , получим искомое решение исходной системы:

$X=A^{-1}\cdot B=-\frac{1}{25}\cdot \left( \begin{matrix} -6 & 17 & -10 \\ 7 & 1 & -5 \\ 5 & -10 & 0 \\ \end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)=-\frac{1}{25}\cdot \left( \begin{matrix} -6+51-20 \\ 7+3-10 \\ 5-30+0 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)$

Ответ

$x_{1}=-1,\quad x_{2}=0,\quad x_{3}=1$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Метод обратной матрицы

Суть метода

Пример решения методом обратной матрицы