Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Метод обратной матрицы

Метод обратной матрицы используется при решении систем линейных алгебраических уравнений, если число неизвестных равно числу уравнений.

Суть метода

Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными:

    \[\left\{ \begin{matrix}    a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}  \\    \ldots \ \ldots \ \ldots \ \ldots \ \ldots \ \ldots \ldots \ \ldots \ \ldots  \\    a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\ldots +a_{nn}x_{n}=b_{n}  \\ \end{matrix} \right\]

Эту систему можно записать в виде матричного уравнения A\cdot X=B,

где A=\left( \begin{matrix}    a_{11} & a_{12} & \ldots  & a_{1n}  \\    a_{21} & a_{22} & \ldots  & a_{2n}  \\    \ldots  & \ldots  & \ldots  & \ldots   \\    a_{n1} & a_{n2} & \ldots  & a_{nn}  \\ \end{matrix} \right)матрица системы,

X=\left( \begin{matrix}    x_{1}  \\    x_{2}  \\    \vdots   \\    x_{n}  \\ \end{matrix} \right) – столбец неизвестных,

B=\left( \begin{matrix}    b_{1}  \\    b_{2}  \\    \vdots   \\    b_{n}  \\ \end{matrix} \right) – столбец свободных коэффициентов.

Из полученного матричного уравнения необходимо выразить X. Для этого умножим обе части матричного уравнения слева на A^{-1}, получим:

    \[A^{-1}\cdot A\cdot X=A^{-1}\cdot B\]

Так как A^{-1}\cdot A=E, то E\cdot X=A^{-1}\cdot B или X=A^{-1}\cdot B.

Далее находится обратная матрица A^{-1} и умножается на столбец свободных членов B.

ЗАМЕЧАНИЕ
Обратная матрица к матрице A существует только при условии, что \det A\ne 0. Поэтому при решении системы линейных уравнений методом обратной матрицы в первую очередь вычисляется \det A. Если \det A\ne 0, то система имеет единственное решение, которое можно найти методом обратной матрицы, если же \det A=0, то методом обратной матрицы решить эту систему нельзя.

Пример решения методом обратной матрицы

ПРИМЕР 1
Задание Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы

    \[\left\{ \begin{matrix}    \begin{matrix}    2x_{1}-4x_{2}+3x_{3}=1  \\ \end{matrix}  \\    \begin{matrix}    x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=3  \\ \end{matrix}  \\    \begin{matrix}    3x_{1}-x_{2}+5x_{3}=2  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix} \right\]

Решение Данная система уравнений может быть записана матричным уравнением

    \[A\cdot X=B\]

где A=\left( \begin{matrix}    2 & -4 & 3  \\    1 & -2 & 4  \\    3 & -1 & 5  \\ \end{matrix} \right), X=\left( \begin{matrix}    x_{1}  \\    x_{2}  \\    x_{3}  \\ \end{matrix} \right), B=\left( \begin{matrix}    1  \\    3  \\    2  \\ \end{matrix} \right).

Выразив из этого уравнения X, получим

    \[X=A^{-1}\cdot B\]

Найдем определитель матрицы A:

    \[\begin{matrix}   \det A=\left| \begin{matrix}    2 & -4 & 3  \\    1 & -2 & 4  \\    3 & -1 & 5  \\ \end{matrix} \right|=2\cdot \left( -2 \right)\cdot 5+3\cdot \left( -4 \right)\cdot 4+3\cdot \left( -1 \right)\cdot 1-3\cdot \left( -2 \right)\cdot 3-\]

    \[-1\cdot \left( -4 \right)\cdot 5-2\cdot 4\cdot \left( -1 \right)= -20-48-3+18+20+8=-25\ne 0. \\  \end{matrix}\]

Так как \det A\ne 0, то система имеет единственное решение, которое можно найти методом обратной матрицы.

Найдем обратную матрицу A^{-1} с помощью союзной матрицы. Вычислим алгебраические дополнения A_{ij} к соответствующим элементам матрицы A:

    \[A_{11}={\left( -1 \right)}^{1+1}\cdot \left| \begin{matrix}    -2 & 4  \\    -1 & 5  \\ \end{matrix} \right|=-10+4=-6; \qquad  A_{12}={\left( -1 \right)}^{1+2}\cdot \left| \begin{matrix}    1 & 4  \\    3 & 5  \\ \end{matrix} \right|=-\left( 5-12 \right)=7;\]

    \[A_{13}={\left( -1 \right)}^{1+3}\cdot \left| \begin{matrix}    1 & -2  \\    3 & -1  \\ \end{matrix} \right|=-1+6=5; \qquad  A_{21}={\left( -1 \right)}^{2+1}\cdot \left| \begin{matrix}    -4 & 3  \\    -1 & 5  \\ \end{matrix} \right|=-\left( -20+3 \right)=17;\]

    \[A_{22}={\left( -1 \right)}^{2+2}\cdot \left| \begin{matrix}    2 & 3  \\    3 & 5  \\ \end{matrix} \right|=10-9=1; \qquad  A_{23}={\left( -1 \right)}^{2+3}\cdot \left| \begin{matrix}    2 & -4  \\    3 & -1  \\ \end{matrix} \right|=-\left( -2+12 \right)=-10\]

    \[A_{31}={\left( -1 \right)}^{3+1}\cdot \left| \begin{matrix}    -4 & 3  \\    -2 & 4  \\ \end{matrix} \right|=-16+6=-10;\]

    \[A_{32}={\left( -1 \right)}^{3+2}\cdot \left| \begin{matrix}    2 & 3  \\    1 & 4  \\ \end{matrix} \right|=-\left( 8-3 \right)=-5; \qquad A_{33}={\left( -1 \right)}^{3+3}\cdot \left| \begin{matrix}    2 & -4  \\    1 & -2  \\ \end{matrix} \right|=-4+4=0.\]

Запишем союзную матрицу A^{*}, составленную из алгебраических дополнений элементов матрицы A:

    \[A^{*}=\left( \begin{matrix}    -6 & 7 & 5  \\    17 & 1 & -10  \\    -10 & -5 & 0  \\ \end{matrix} \right)\]

Далее запишем обратную матрицу согласно формуле A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdot {\left( A^{*} \right)}^{T}. Будем иметь:

    \[A^{-1}=-\frac{1}{25}\cdot \left( \begin{matrix}    -6 & 17 & -10  \\    7 & 1 & -5  \\    5 & -10 & 0  \\ \end{matrix} \right)\]

Умножая обратную матрицу A^{-1} на столбец свободных членов B, получим искомое решение исходной системы:

    \[X=A^{-1}\cdot B=-\frac{1}{25}\cdot \left( \begin{matrix}    -6 & 17 & -10  \\    7 & 1 & -5  \\    5 & -10 & 0  \\ \end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix}    1  \\    3  \\    2  \\ \end{matrix} \right)=-\frac{1}{25}\cdot \left( \begin{matrix}    -6+51-20  \\    7+3-10  \\    5-30+0  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}    -1  \\    0  \\    1  \\ \end{matrix} \right)\]

Ответ x_{1}=-1,\quad x_{2}=0,\quad x_{3}=1