Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Обратная матрица и методы ее вычисления

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Обратной матрицей, к квадратной матрице A , называется такая матрица A^{-1} , для которой справедливо равенство

    \[A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A =E\]

ТЕОРЕМА
Для существования обратной матрицы A^{-1} необходимо и достаточно, чтобы матрица A была невырожденной, то есть, чтобы \det A\ne 0 . Пусть задана квадратная матрица A=\left( \begin{matrix}  a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\  a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\  \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\  a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right) , тогда обратную к ней матрицу A^{-1} можно вычислить по формуле

    \[A^{-1}=\frac{1}{\det A}{{\left( \begin{matrix}  A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1n} \\  A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2n} \\  \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\  A_{n1} & A_{n2} & \ldots & A_{nn} \\ \end{matrix} \right)}^{T}}=\frac{1}{\det A}\left( \begin{matrix}  A_{11} & A_{21} & \ldots & A_{n1} \\  A_{12} & A_{22} & \ldots & A_{n2} \\  \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\  A_{1n} & A_{n2} & \ldots & A_{nn} \\ \end{matrix} \right)\]

где A_{ij}={{\left( -1 \right)}^{i+j}}{{M}_{ij}}алгебраическое дополнение к элементу a_{ij} .

Примеры вычисления обратной матрицы

ПРИМЕР 1
Задание Найти обратную матрицу для матрицы A

    \[A=\left( \begin{matrix}  2 & 3 & 7 \\  1 & -5 & 2 \\  3 & -1 & 9 \\ \end{matrix} \right) \]

Решение Проверим, является ли заданная матрица невырожденной. Для этого вычислим определитель этой матрицы

    \[\det A =\left| \begin{matrix}  2 & 3 & 7 \\  1 & -5 & 2 \\  3 & -1 & 9 \\ \end{matrix} \right|=-90+18-7+105-27+4=3\ne 0\]

Определитель матрицы не равен нулю, значит, матрица A не вырожденная и для неё существует обратная матрица A^{-1} .

Вычислим алгебраические дополнения A_{ij} соответствующих элементов матрицы A:

    \[A_{11}={{\left( -1 \right)}^{1+1}}\cdot \left| \begin{matrix}  -5 & 2 \\  -1 & 9 \\ \end{matrix} \right|=-45+2=-43 ; \qquad A_{12}={{\left( -1 \right)}^{1+2}}\cdot \left| \begin{matrix}  1 & 2 \\  3 & 9 \\ \end{matrix} \right|=-\left( 9-6 \right)=-3\]

    \[A_{13}={{\left( -1 \right)}^{1+3}}\cdot \left| \begin{matrix}  1 & -5 \\  3 & -1 \\ \end{matrix} \right|=-1+15=14 ; \qquad  A_{21}={{\left( -1 \right)}^{2+1}}\cdot \left| \begin{matrix}  3 & 7 \\  -1 & 9 \\ \end{matrix} \right|=-\left( 27+7 \right)=-34\]

    \[A_{22}={{\left( -1 \right)}^{2+2}}\cdot \left| \begin{matrix}  2 & 7 \\  3 & 9 \\ \end{matrix} \right|=18-21=-3 ; \qquad A_{23}={{\left( -1 \right)}^{2+3}}\cdot \left| \begin{matrix}  2 & 3 \\  3 & -1 \\ \end{matrix} \right|=-\left( -2-9 \right)=11\]

    \[A_{31}={{\left( -1 \right)}^{3+1}}\cdot \left| \begin{matrix}  3 & 7 \\  -5 & 2 \\ \end{matrix} \right|=6+35=41 ; \qquad  A_{32}={{\left( -1 \right)}^{3+2}}\cdot \left| \begin{matrix}  2 & 7 \\  1 & 2 \\ \end{matrix} \right|=-\left( 4-7 \right)=3\]

    \[A_{33}={{\left( -1 \right)}^{3+3}}\cdot \left| \begin{matrix}  2 & 3 \\  1 & -5 \\ \end{matrix} \right|=-10-3=-13\]

Запишем матрицу A^{*} , составленную из алгебраических дополнений элементов матрицы A

    \[A^{*}=\left( \begin{matrix}  -43 & -3 & 14 \\  -34 & -3 & 11 \\  41 & 3 & -13 \\ \end{matrix} \right)\]

Далее запишем обратную матрицу согласно формуле A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdot {{\left( A^{*}} \right)}^{T} , получим

    \[A^{-1}=\frac{1}{3}\cdot \left( \begin{matrix}  -43 & -34 & 41 \\  -3 & -3 & 3 \\  14 & 11 & -13 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}  \frac{-43}{3}\; & \frac{-34}{3}\; & \frac{41}{3}\; \\  -1 & -1 & 1 \\  \frac{14}{3}\; & \frac{11}{3}\; & \frac{-13}{3}\; \\ \end{matrix} \right)\]

Ответ

Метод Гаусса для нахождения обратной матрицы

Для нахождения обратной матрицы A^{-1} методом Гаусса необходимо:

1) построить вспомогательную матрицу M , приписав к столбцам матрицы A справа столбцы единичной матрицы того же порядка, что и матрица A:

    \[M=\left( \begin{matrix}  a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\  a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\  \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\  a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ \end{matrix}\left| \begin{matrix}  1 & 0 & \ldots & 0 \\  0 & 1 & \ldots & 0 \\  \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\  0 & 0 & \ldots & 1 \\ \end{matrix} \right. \right)\]

2) элементарными преобразованиями строк привести матрицу M к матрице, в левой части которой стоит единичная матрица:

    \[N=\left( \begin{matrix}  1 & 0 & \ldots & 0 \\  0 & 1 & \ldots & 0 \\  \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\  0 & 0 & \ldots & 1 \\ \end{matrix}\left| \begin{matrix}  b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\  b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n} \\  \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\  b_{n1} & b_{n2} & \ldots & b_{nn} \\ \end{matrix} \right. \right)\]

3) матрица, стоящая в правой части полученной матрицы N и будет обратной матрицей

    \[A^{-1}=\left( \begin{matrix}  b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\  b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n} \\  \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\  b_{n1} & b_{n2} & \ldots & b_{nn} \\ \end{matrix} \right)\]

ПРИМЕР 2
Задание Найти обратную матрицу к матрице A методом Гаусса.

    \[A=\left( \begin{matrix}  2 & 3 & 7 \\  1 & -5 & 2 \\  3 & -1 & 9 \\ \end{matrix} \right)\]

Решение Запишем вспомогательную матрицу

    \[M=\left( \begin{matrix}  2 & 3 & 7 \\  1 & -5 & 2 \\  3 & -1 & 9 \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix}  1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right. \right)\]

и приведем её, с помощью элементарных преобразований, к матрице, в которой единичная матрица будет слева. Переставим местами первую и вторую строки

    \[M=\left( \begin{matrix}  2 & 3 & 7 \\  1 & -5 & 2 \\  3 & -1 & 9 \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix}  1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right. \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix}  1 & -5 & 2 \\  2 & 3 & 7 \\  3 & -1 & 9 \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix}  0 & 1 & 0 \\  1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right. \right)\]

Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на \left( -2 \right) , а к третьей строке первую, умноженную на \left( -3 \right)

    \[\left( \begin{matrix}  1 & -5 & 2 \\  2 & 3 & 7 \\  3 & -1 & 9 \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix}  0 & 1 & 0 \\  1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right. \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix}  1 & -5 & 2 \\  0 & 13 & 3 \\  0 & 14 & 3 \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix}  0 & 1 & 0 \\  1 & -2 & 0 \\  0 & -3 & 1 \\ \end{matrix} \right. \right)\]

Прибавим ко второй строке третью, умноженную на \left( -1 \right)

    \[\left( \begin{matrix}  1 & -5 & 2 \\  0 & 13 & 3 \\  0 & 14 & 3 \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix}  0 & 1 & 0 \\  1 & -2 & 0 \\  0 & -3 & 1 \\ \end{matrix} \right. \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix}  1 & -5 & 2 \\  0 & -1 & 0 \\  0 & 14 & 3 \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix}  0 & 1 & 0 \\  1 & 1 & -1 \\  0 & -3 & 1 \\ \end{matrix} \right. \right)\]

Умножим вторую строку на \left( -1 \right)

    \[\left( \begin{matrix}  1 & -5 & 2 \\  0 & -1 & 0 \\  0 & 14 & 3 \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix}  0 & 1 & 0 \\  1 & 1 & -1 \\  0 & -3 & 1 \\ \end{matrix} \right. \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix}  1 & -5 & 2 \\  0 & 1 & 0 \\  0 & 14 & 3 \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix}  0 & 1 & 0 \\  -1 & -1 & 1 \\  0 & -3 & 1 \\ \end{matrix} \right. \right)\]

Прибавим к первой строке вторую, умноженную на 5 , а к третьей вторую, умноженную на \left( -14 \right)

    \[\left( \begin{matrix}  1 & -5 & 2 \\  0 & 1 & 0 \\  0 & 14 & 3 \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix}  0 & 1 & 0 \\  -1 & -1 & 1 \\  0 & -3 & 1 \\ \end{matrix} \right. \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix}  1 & 0 & 2 \\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 3 \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix}  -5 & -4 & 5 \\  -1 & -1 & 1 \\  14 & 11 & -13 \\ \end{matrix} \right)\]

Разделим третью строку на 3

    \[\left( \begin{matrix}  1 & 0 & 2 \\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 3 \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix}  -5 & -4 & 5 \\  -1 & -1 & 1 \\  14 & 11 & -13 \\ \end{matrix} \right. \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix}  1 & 0 & 2 \\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix}  -5 & -4 & 5 \\  -1 & -1 & 1 \\  \frac{14}{3}\; & \frac{11}{3}\; & \frac{-13}{3}\; \\ \end{matrix} \right)\]

К первой строке прибавим третью, умноженную на \left( -2 \right)

    \[\left( \begin{matrix}  1 & 0 & 2 \\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\left| \ \begin{matrix}  -5 & -4 & 5 \\  -1 & -1 & 1 \\  \frac{14}{3}\; & \frac{11}{3}\; & \frac{-13}{3}\; \\ \end{matrix} \right. \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix}  1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\ \ \left| \ \begin{matrix}  \frac{-43}{3}\; & -\frac{34}{3}\; & \frac{41}{3}\; \\  -1 & -1 & 1 \\  \frac{14}{3}\; & \frac{11}{3}\; & \frac{-13}{3}\; \\ \end{matrix} \right. \right)\]

Тогда обратная матрица равна A^{-1}=\left( \begin{matrix}  \frac{-43}{3}\; & -\frac{34}{3}\; & \frac{41}{3}\; \\  -1 & -1 & 1 \\  \frac{14}{3}\; & \frac{11}{3}\; & \frac{-13}{3}\; \\ \end{matrix} \right) .

Ответ