Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Алгебраическое дополнение матрицы

Алгебраическое дополнение A_{ij} элемента a_{ij} вычисляется по формуле

    \[A_{ij}={\left( -1 \right)}^{i+j}M_{ij}\]

где M_{ij}минор элемента a_{ij} (определитель полученный из исходной матрицы вычеркиванием i-той строки и j-того столбца).

Примеры нахождения алгебраического дополнения

ПРИМЕР 1
Задание Найти все алгебраические дополнения элементов матрицы

    \[A=\left( \begin{matrix}    2 & 3  \\    -1 & 0  \\ \end{matrix} \right)\]

Решение Найдем все алгебраические дополнения по формуле A_{ij}={\left( -1 \right)}^{i+j}M_{ij}:

    \[A_{11}={\left( -1 \right)}^{1+1}\cdot 0=0;\]

    \[A_{12}={\left( -1 \right)}^{1+2}\cdot \left( -1 \right)=1;\]

    \[A_{21}={\left( -1 \right)}^{2+1}\cdot 3=-3;\]

    \[A_{22}={\left( -1 \right)}^{2+2}\cdot 2=2.\]

Ответ A_{11}=0; \text{ } A_{12}=1; \text{ } A_{21}=-3; \text{ } A_{22}=2
ПРИМЕР 2
Задание Найти все алгебраические дополнения элементов матрицы

    \[A=\left( \begin{matrix}    0 & -1 & 3  \\    3 & 1 & 2  \\    -2 & -1 & 4  \\ \end{matrix} \right)\]

Решение По формуле A_{ij}={\left( -1 \right)}^{i+j}M_{ij}, алгебраические дополнения элементов заданной матрицы равны соответственно:

    \[A_{11}={\left( -1 \right)}^{1+1}\cdot \left| \begin{matrix}    1 & 2  \\    -1 & 4  \\ \end{matrix} \right|=4+2=6; \qquad  A_{12}={\left( -1 \right)}^{1+2}\cdot \left| \begin{matrix}    3 & 2  \\    -2 & 4  \\ \end{matrix} \right|=-\left( 12+4 \right)=-16;\]

    \[A_{13}={\left( -1 \right)}^{1+3}\cdot \left| \begin{matrix}    3 & 1  \\    -2 & -1  \\ \end{matrix} \right|=-3+2=-1; \qquad  A_{21}={\left( -1 \right)}^{2+1}\cdot \left| \begin{matrix}    -1 & 3  \\    -1 & 4  \\ \end{matrix} \right|=-\left( -4+3 \right)=1;\]

    \[A_{22}={\left( -1 \right)}^{2+2}\cdot \left| \begin{matrix}    0 & 3  \\    -2 & 4  \\ \end{matrix} \right|=0+6=6; \qquad  A_{23}={\left( -1 \right)}^{2+3}\cdot \left| \begin{matrix}    0 & -1  \\    -2 & -1  \\ \end{matrix} \right|=-\left( 0-2 \right)=2;\]

    \[A_{31}={\left( -1 \right)}^{3+1}\cdot \left| \begin{matrix}    -1 & 3  \\    1 & 2  \\ \end{matrix} \right|=-2-3=-5; \qquad  A_{32}={\left( -1 \right)}^{3+2}\cdot \left| \begin{matrix}    0 & 3  \\    3 & 2  \\ \end{matrix} \right|=-\left( 0-9 \right)=9;\]

    \[A_{33}={\left( -1 \right)}^{3+3}\cdot \left| \begin{matrix}    0 & -1  \\    3 & 1  \\ \end{matrix} \right|=0+3=3\]

Ответ A_{11}=6; \text{ } A_{12}=-16; \text{ } A_{13}=-1; \text{ } A_{21}=1; \text{ } A_{22}=6;

A_{23}=2; \text{ } A_{31}=-5; \text{ } A_{32}=9; \text{ } A_{33}=3