Алгебраическое дополнение матрицы

Алгебраическое дополнение $A_{ij}$ элемента $a_{ij}$ вычисляется по формуле

$A_{ij}={\left( -1 \right)}^{i+j}M_{ij}$

где $M_{ij}$ – минор элемента $a_{ij}$ (определитель полученный из исходной матрицы вычеркиванием $i$ -той строки и $j$ -того столбца).

Примеры нахождения алгебраического дополнения

ПРИМЕР 1

Задание

Найти все алгебраические дополнения элементов матрицы

$A=\left( \begin{matrix} 2 & 3 \\ -1 & 0 \\ \end{matrix} \right)$

Решение

Найдем все алгебраические дополнения по формуле $A_{ij}={\left( -1 \right)}^{i+j}M_{ij}$ :

$A_{11}={\left( -1 \right)}^{1+1}\cdot 0=0;$

$A_{12}={\left( -1 \right)}^{1+2}\cdot \left( -1 \right)=1;$

$A_{21}={\left( -1 \right)}^{2+1}\cdot 3=-3;$

$A_{22}={\left( -1 \right)}^{2+2}\cdot 2=2.$

Ответ

$A_{11}=0; \text{ } A_{12}=1; \text{ } A_{21}=-3; \text{ } A_{22}=2$

ПРИМЕР 2

Задание

Найти все алгебраические дополнения элементов матрицы

$A=\left( \begin{matrix} 0 & -1 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & 4 \\ \end{matrix} \right)$

Решение

По формуле $A_{ij}={\left( -1 \right)}^{i+j}M_{ij}$ , алгебраические дополнения элементов заданной матрицы равны соответственно:

$A_{11}={\left( -1 \right)}^{1+1}\cdot \left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \\ \end{matrix} \right|=4+2=6; \qquad A_{12}={\left( -1 \right)}^{1+2}\cdot \left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ -2 & 4 \\ \end{matrix} \right|=-\left( 12+4 \right)=-16;$

$A_{13}={\left( -1 \right)}^{1+3}\cdot \left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ -2 & -1 \\ \end{matrix} \right|=-3+2=-1; \qquad A_{21}={\left( -1 \right)}^{2+1}\cdot \left| \begin{matrix} -1 & 3 \\ -1 & 4 \\ \end{matrix} \right|=-\left( -4+3 \right)=1;$

$A_{22}={\left( -1 \right)}^{2+2}\cdot \left| \begin{matrix} 0 & 3 \\ -2 & 4 \\ \end{matrix} \right|=0+6=6; \qquad A_{23}={\left( -1 \right)}^{2+3}\cdot \left| \begin{matrix} 0 & -1 \\ -2 & -1 \\ \end{matrix} \right|=-\left( 0-2 \right)=2;$

$A_{31}={\left( -1 \right)}^{3+1}\cdot \left| \begin{matrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \\ \end{matrix} \right|=-2-3=-5; \qquad A_{32}={\left( -1 \right)}^{3+2}\cdot \left| \begin{matrix} 0 & 3 \\ 3 & 2 \\ \end{matrix} \right|=-\left( 0-9 \right)=9;$

$A_{33}={\left( -1 \right)}^{3+3}\cdot \left| \begin{matrix} 0 & -1 \\ 3 & 1 \\ \end{matrix} \right|=0+3=3$

Ответ

$A_{11}=6; \text{ } A_{12}=-16; \text{ } A_{13}=-1; \text{ } A_{21}=1; \text{ } A_{22}=6;$

$A_{23}=2; \text{ } A_{31}=-5; \text{ } A_{32}=9; \text{ } A_{33}=3$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Алгебраическое дополнение матрицы

Примеры нахождения алгебраического дополнения