Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Определитель, детерминант матрицы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Определителем или детерминантом квадратной матрицы A={{\left\| a_{ij} \right\|}_{n\times n}} называется число, которое ставится в соответствие этой матрицы.

Определитель матрицы A обозначается вертикальными черточками \left| A \right| или греческой буквой \Delta , или \det A .

Способы вычисления определителя матрицы

Определителем матрицы второго порядка называется число, равное

    \[\left| \begin{matrix}  a_{11} & a_{12} \\  a_{21} & a_{22} \\ \end{matrix} \right|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{21} \cdot a_{12}\]

ПРИМЕР 1
Задание Вычислить определитель второго порядка

    \[\Delta =\left| \begin{matrix}  1 & -1 \\  2 & 3 \\ \end{matrix} \right|\]

Решение По определению определитель второго порядка равен

    \[\Delta =\left| \begin{matrix}  1 & -1 \\  2 & 3 \\ \end{matrix} \right|=1\cdot 3-2\cdot \left( -1 \right)=3+2=5\]

Ответ \Delta =5

Определитель матрицы третьего порядка

Определитель матрицы третьего порядка можно вычислить, используя правило треугольника или правило Саррюса.

Правило треугольника. Определителем матрицы третьего порядка можно вычислить по формуле

    \[\begin{matrix}  \left| \begin{matrix}  a_{11} & a_{12} & a_{13} \\  a_{21} & a_{22} & a_{23} \\  a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{matrix} \right|=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{31}\cdot a_{12}\cdot a_{23}+a_{21}\cdot a_{13}\cdot a_{32}- \\   -a_{31}\cdot a_{22}\cdot a_{13}-a_{21}\cdot a_{12}\cdot a_{33}-a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}. \\  \end{matrix}\]

Схематически это правило можно изобразить следующим образом

ПРИМЕР 2
Задание Вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольника

    \[\Delta =\left| \begin{matrix}  1 & 2 & -4 \\  2 & 3 & 1 \\  3 & -1 & 2 \\ \end{matrix} \right|\]

Решение По правилу треугольника определитель третьего порядка равен

    \[\Delta =\left| \begin{matrix}  1 & 2 & -4 \\  2 & 3 & 1 \\  3 & -1 & 2 \\ \end{matrix} \right|=1\cdot 3\cdot 2+3\cdot 2\cdot 1+2\cdot \left( -4 \right)\cdot \left( -1 \right)-3\cdot 3\cdot \left( -4 \right)-2\cdot 2\cdot 2-1\cdot 1\cdot \left( -1 \right)=49\]

Ответ \Delta =49

Правило Саррюса. Для вычисления определителя третьего порядка, допишем два первых столбца и перемножим диагональные элементы, взяв произведение со знаком «плюс», если диагональ является главной или параллельна её и, взяв произведение со знаком «минус», если диагональ является побочной или параллельной ей, получим

ПРИМЕР 3
Задание Вычислить определитель третьего порядка из примера 2 по правилу Саррюса

    \[\Delta =\left| \begin{matrix}  1 & 2 & -4 \\  2 & 3 & 1 \\  3 & -1 & 2 \\ \end{matrix} \right|\]

Решение По правилу Саррюса, необходимо справа от вычисляемого определителя записать первые два столбца этого определителя и перемножить диагональные элементы. Взяв эти произведения с соответствующими знаками, получим, что искомый определитель третьего порядка равен

    \[\begin{matrix}  \Delta =\left| \begin{matrix}  1 & 2 & -4 \\  2 & 3 & 1 \\  3 & -1 & 2 \\ \end{matrix} \right|\quad \begin{matrix}  1 \\  2 \\  3 \\ \end{matrix}\quad \begin{matrix}  2 \\  3 \\  -1 \\ \end{matrix}= \\   =1\cdot 3\cdot 2+2\cdot 1\cdot 3+\left( -4 \right)\cdot 2\cdot \left( -1 \right)-3\cdot 3\cdot \left( -4 \right)-\left( -1 \right)\cdot 1\cdot 1-2\cdot 2\cdot 2=49 \\  \end{matrix}\]

Ответ \Delta =49

Вычисление определителей высших порядков

Для вычисления определителей высших порядков, используется способ разложения определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения. При этом вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению определителей n-1-го порядка.

ТЕОРЕМА

Теорема о разложении определителя по элементам строки. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения.

    \[\det A=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\ldots +a_{in}A_{in}\]

ТЕОРЕМА

Теорема о разложении определителя по элементам столбца. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения.

    \[\det A=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\ldots +a_{nj}A_{nj}\]

ПРИМЕР 4
Задание Вычислить определитель 4-го порядка двумя способами:

а) разложив по 1-ой строке;

б) разложив по 1-му столбцу

    \[\Delta =\left| \begin{matrix}  2 & 1 & 0 & 2 \\  3 & 2 & 1 & 0 \\  -1 & 0 & 1 & 3 \\  -1 & 2 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right|\]

Решение а) По теореме о разложении определителя по элементам строки, данный определитель разлагается по первой строке следующим образом

    \[\Delta =a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}+a_{14}A_{14}\]

Учитывая формулу для вычисления алгебраических дополнений A_{ij}={\left( -1 \right)}^{i+j}{M_{ij}} . Здесь M_{ij}минор элемента a_{ij} , равный определителю, полученному из данного определителя вычеркиванием i-той строки и j-того столбца. Тогда

    \[\begin{matrix}  \Delta =2\cdot {{\left( -1 \right)}^{1+1}}\left| \begin{matrix}  2 & 1 & 0 \\  0 & 1 & 3 \\  2 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right|+1\cdot {{\left( -1 \right)}^{1+2}}\left| \begin{matrix}  3 & 1 & 0 \\  -1 & 1 & 3 \\  -1 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right|+0\cdot {{\left( -1 \right)}^{1+3}}\left| \begin{matrix}  3 & 2 & 0 \\  -1 & 0 & 3 \\  -1 & 2 & 3 \\ \end{matrix} \right| + \]

    \[+2\cdot {{\left( -1 \right)}^{1+4}}\left| \begin{matrix}  3 & 2 & 1 \\  -1 & 0 & 1 \\  -1 & 2 & 1 \\ \end{matrix} \right| \\   =2\cdot \left| \begin{matrix}  2 & 1 & 0 \\  0 & 1 & 3 \\  2 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right|-\left| \begin{matrix}  3 & 1 & 0 \\  -1 & 1 & 3 \\  -1 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right|-2\cdot \left| \begin{matrix}  3 & 2 & 1 \\  -1 & 0 & 1 \\  -1 & 2 & 1 \\ \end{matrix} \right| \\  \end{matrix}\]

Полученные определители третьего порядка вычислим по правилу треугольника

    \[\begin{matrix}  \Delta =2\cdot \left| \begin{matrix}  2 & 1 & 0 \\  0 & 1 & 3 \\  2 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right|-\left| \begin{matrix}  3 & 1 & 0 \\  -1 & 1 & 3 \\  -1 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right|-2\cdot \left| \begin{matrix}  3 & 2 & 1 \\  -1 & 0 & 1 \\  -1 & 2 & 1 \\ \end{matrix} \right|= \\   =2\left( 6+6+0-0-0-6 \right)-\left( 9-3+0-0+3-9 \right)-2\left( 0-2-2-0+2-6 \right) = \]

    \[=12-0+16=28 \\  \end{matrix}\]

б) По теореме о разложении определителя по элементам столбца, данный определитель разлагается по первому столбцу следующим образом

    \[\begin{matrix}  \Delta =a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+a_{31}A_{31}+a_{41}A_{41}= \\   =2\cdot {{\left( -1 \right)}^{1+1}}\left| \begin{matrix}  2 & 1 & 0 \\  0 & 1 & 3 \\  2 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right|+3\cdot {{\left( -1 \right)}^{2+1}}\left| \begin{matrix}  1 & 0 & 2 \\  0 & 1 & 3 \\  2 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right|+\left( -1 \right)\cdot {{\left( -1 \right)}^{3+1}}\left| \begin{matrix}  1 & 0 & 2 \\  2 & 1 & 0 \\  2 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right|+ \\   +\left( -1 \right)\cdot {{\left( -1 \right)}^{4+1}}\left| \begin{matrix}  1 & 0 & 2 \\  2 & 1 & 0 \\  0 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right|=2\cdot \left| \begin{matrix}  2 & 1 & 0 \\  0 & 1 & 3 \\  2 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right|-3\cdot \left| \begin{matrix}  1 & 0 & 2 \\  0 & 1 & 3 \\  2 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right|-\left| \begin{matrix}  1 & 0 & 2 \\  2 & 1 & 0 \\  2 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right|+\left| \begin{matrix}  1 & 0 & 2 \\  2 & 1 & 0 \\  0 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right| \\  \end{matrix}\]

Полученные определители третьего порядка вычислим по правилу треугольника

    \[\begin{matrix}  \Delta =2\cdot \left| \begin{matrix}  2 & 1 & 0 \\  0 & 1 & 3 \\  2 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right|-3\cdot \left| \begin{matrix}  1 & 0 & 2 \\  0 & 1 & 3 \\  2 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right|-\left| \begin{matrix}  1 & 0 & 2 \\  2 & 1 & 0 \\  2 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right|+\left| \begin{matrix}  1 & 0 & 2 \\  2 & 1 & 0 \\  0 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right|=2\cdot \left( 6+6+0-0-0-6 \right)- \\   -3\cdot \left( 3+0+0-4-0-3 \right)-\left( 3+0+4-4-0-0 \right)+\left( 3+0+4-0-0-0 \right)=28 \\  \end{matrix}\]

Ответ \Delta =28

Свойства определителя матрицы

Определитель любого порядка может быть вычислен с использованием свойств определителя:

  1. определитель не изменяется при элементарных преобразованиях строк или столбцов;
  2. при перестановке строк или столбцов знак определителя меняется на противоположный;
  3. определитель треугольной матрицы равен произведению элементов расположенных на диагонали. Например, для верхнетреугольной матрицы

    \[A=\left( \begin{matrix}  a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\  0 & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\  \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\  0 & 0 & \ldots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right)\]

определитель равен \det A=a_{11}\cdot a_{22}\cdot \ldots \cdot a_{nn} .

ПРИМЕР 5
Задание Вычислить определитель 4-го порядка, используя свойства определителя

    \[\Delta =\left| \begin{matrix}  1 & 2 & 3 & 4 \\  -2 & 1 & 5 & 6 \\  -3 & -5 & 1 & 7 \\  -4 & -6 & -7 & 1 \\ \end{matrix} \right|\]

Решение Приведем этот определитель с помощью элементарных преобразований к верхнему треугольному виду. Для этого ко второй, третьей и четвертой строкам прибавим первую, умноженную, соответственно, на 2, 3 и 4.

    \[\Delta =\left| \begin{matrix}  1 & 2 & 3 & 4 \\  -2 & 1 & 5 & 6 \\  -3 & -5 & 1 & 7 \\  -4 & -6 & -7 & 1 \\ \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix}  1 & 2 & 3 & 4 \\  0 & 5 & 11 & 14 \\  0 & 1 & 10 & 19 \\  0 & 2 & 5 & 17 \\ \end{matrix} \right|\]

Поменяем вторую и третью строку местами, при этом знак определителя изменится на противоположный

    \[\Delta =\left| \begin{matrix}  1 & 2 & 3 & 4 \\  0 & 5 & 11 & 14 \\  0 & 1 & 10 & 19 \\  0 & 2 & 5 & 17 \\ \end{matrix} \right|=-\left| \begin{matrix}  1 & 2 & 3 & 4 \\  0 & 1 & 10 & 19 \\  0 & 5 & 11 & 14 \\  0 & 2 & 5 & 17 \\ \end{matrix} \right|\]

Далее к третьей строке прибавим вторую, умноженную на (–5), а к четвертой, прибавим вторую, умноженную на (–2). Получим

    \[\Delta =-\left| \begin{matrix}  1 & 2 & 3 & 4 \\  0 & 1 & 10 & 19 \\  0 & 5 & 11 & 14 \\  0 & 2 & 5 & 17 \\ \end{matrix} \right|=-\left| \begin{matrix}  1 & 2 & 3 & 4 \\  0 & 1 & 10 & 19 \\  0 & 0 & -39 & -81 \\  0 & 0 & -15 & -21 \\ \end{matrix} \right|\]

К последней строке прибавим третью, умноженную на \left( \frac{-15}{39} \right)

    \[\Delta =-\left| \begin{matrix}  1 & 2 & 3 & 4 \\  0 & 1 & 10 & 19 \\  0 & 5 & 11 & 14 \\  0 & 2 & 5 & 17 \\ \end{matrix} \right|=-\left| \begin{matrix}  1 & 2 & 3 & 4 \\  0 & 1 & 10 & 19 \\  0 & 0 & -39 & -81 \\  0 & 0 & 0 & \frac{396}{39} \\ \end{matrix} \right|\]

Теперь определитель равен произведению элементов на главной диагонали

    \[\Delta =-\left( 1\cdot 1\cdot \left( -39 \right)\cdot \frac{396}{39} \right)=396\]

Ответ \Delta =396