Ранг матрицы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Рангом матрицы $A$ называется число, равное наивысшему порядку отличного от нуля минора этой матрицы.

Обозначается ранг матрицы как $rang\ A$ или $r\left( A \right)$ . Очевидно, ранг матрицы не превышает порядка самой матрицы

$0\le rang\ {{A}_{m\times n}}\le \min \left( m,n \right)$

По определению ранг матрицы $A$ можно найти следующим образом. Если все миноры первого порядка (элементы матрицы) равны нулю, то $rang\ A=0$ . Если хотя бы один из миноров первого порядка отличен от нуля, а все миноры второго порядка равны нулю, то $rang\ A=1$ . В случае, если есть миноры второго порядка, отличные от нуля, исследуем миноры третьего порядка. Так продолжаем до тех пор, пока, либо все миноры порядка $k$ равны нулю, либо миноров порядка $k$ не существует, тогда $rang\ A=k-1$ .

Примеры нахождения ранга матрицы

ПРИМЕР 1

Задание	Найти ранг матрицы $A$ $A=\left( \begin{matrix} \begin{matrix} 2 & 0 & -2 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} -1 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right)$
Решение	Среди миноров первого порядка (то есть среди элементов матрицы) существуют отличные от нуля, поэтому $rang\,A\ge 1$ . Рассмотрим миноры второго порядка ${{M}_{12}}=\left\| \begin{matrix} 2 & 0 \\ -1 & 0 \\ \end{matrix} \right\|=0, \qquad {{M}_{13}}=\left\| \begin{matrix} 2 & -2 \\ -1 & 1 \\ \end{matrix} \right\|=0, \qquad {{M}_{23}}=\left\| \begin{matrix} 0 & -2 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right\|=0$ Таким образом, все миноры второго порядка равны нулю и ранг равен $rang\,A=1$ .
Ответ	$rang\,A=1$

Указанный метод нахождения ранга матрицы не всегда удобен в использовании, так как связан с вычислением большого количества определителей. На практике чаще всего используют метод нахождения ранга матрицы основанный на том что, ранг матрицы не изменяется, если над матрицей выполнять элементарные преобразования, и на следующей теореме.

Теорема о ранге

ТЕОРЕМА

Ранг матрицы $A$ равен максимальному числу линейно независимых столбцов (или равен рангу системы столбцов) матрицы $A$ .

ПРИМЕР 2

Задание

Найти ранг матрицы $A$

$A=\left( \begin{matrix} 3 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ 4 & -1 & 5 \\ \end{matrix} \right)$

Решение

Приведем заданную матрицу с помощью элементарных преобразований к верхнему треугольному виду. Поменяем в исходной матрице местами первую и вторую строки

$A=\left( \begin{matrix} 3 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ 4 & -1 & 5 \\ \end{matrix} \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix} 1 & -1 & 3 \\ 3 & 0 & 2 \\ 4 & -1 & 5 \\ \end{matrix} \right)$

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на ( $-3$ ), а к третьей первую, умноженную на ( $-4$ ):

$\left( \begin{matrix} 1 & -1 & 3 \\ 3 & 0 & 2 \\ 4 & -1 & 5 \\ \end{matrix} \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 3 & -7 \\ 0 & 3 & -7 \\ \end{matrix} \right)$

В полученной матрице прибавим к третьей строке вторую, умноженную на ( $-1$ ):

$\left( \begin{matrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 3 & -7 \\ 0 & 3 & -7 \\ \end{matrix} \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 3 & -7 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)$

После элементарных преобразований в матрице осталось две линейно независимые строки, следовательно $rang\,A=2$ .

Ответ

$rang\,A=2$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Ранг матрицы

Примеры нахождения ранга матрицы

Теорема о ранге