Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Ранг матрицы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Рангом матрицы A называется число, равное наивысшему порядку отличного от нуля минора этой матрицы.

Обозначается ранг матрицы как rang\ A или r\left( A \right). Очевидно, ранг матрицы не превышает порядка самой матрицы

    \[0\le rang\ {{A}_{m\times n}}\le \min \left( m,n \right)\]

По определению ранг матрицы A можно найти следующим образом. Если все миноры первого порядка (элементы матрицы) равны нулю, то rang\ A=0. Если хотя бы один из миноров первого порядка отличен от нуля, а все миноры второго порядка равны нулю, то rang\ A=1. В случае, если есть миноры второго порядка, отличные от нуля, исследуем миноры третьего порядка. Так продолжаем до тех пор, пока, либо все миноры порядка k равны нулю, либо миноров порядка k не существует, тогда rang\ A=k-1.

Примеры нахождения ранга матрицы

ПРИМЕР 1
Задание Найти ранг матрицы A

    \[A=\left( \begin{matrix}    \begin{matrix}    2 & 0 & -2  \\ \end{matrix}  \\    \begin{matrix}    -1 & 0 & 1  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix} \right)\]

Решение Среди миноров первого порядка (то есть среди элементов матрицы) существуют отличные от нуля, поэтому rang\,A\ge 1. Рассмотрим миноры второго порядка

    \[{{M}_{12}}=\left| \begin{matrix}    2 & 0  \\    -1 & 0  \\ \end{matrix} \right|=0, \qquad  {{M}_{13}}=\left| \begin{matrix}    2 & -2  \\    -1 & 1  \\ \end{matrix} \right|=0, \qquad  {{M}_{23}}=\left| \begin{matrix}    0 & -2  \\    0 & 1  \\ \end{matrix} \right|=0\]

Таким образом, все миноры второго порядка равны нулю и ранг равен rang\,A=1 .
Ответ rang\,A=1

Указанный метод нахождения ранга матрицы не всегда удобен в использовании, так как связан с вычислением большого количества определителей. На практике чаще всего используют метод нахождения ранга матрицы основанный на том что, ранг матрицы не изменяется, если над матрицей выполнять элементарные преобразования, и на следующей теореме.

Теорема о ранге

ТЕОРЕМА
Ранг матрицы A равен максимальному числу линейно независимых столбцов (или равен рангу системы столбцов) матрицы A.
ПРИМЕР 2
Задание Найти ранг матрицы A

    \[A=\left( \begin{matrix}    3 & 0 & 2  \\    1 & -1 & 3  \\    4 & -1 & 5  \\ \end{matrix} \right) \]

Решение Приведем заданную матрицу с помощью элементарных преобразований к верхнему треугольному виду. Поменяем в исходной матрице местами первую и вторую строки

    \[A=\left( \begin{matrix}    3 & 0 & 2  \\    1 & -1 & 3  \\    4 & -1 & 5  \\ \end{matrix} \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix}    1 & -1 & 3  \\    3 & 0 & 2  \\    4 & -1 & 5  \\ \end{matrix} \right)\]

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-3), а к третьей первую, умноженную на (-4):

    \[\left( \begin{matrix}    1 & -1 & 3  \\    3 & 0 & 2  \\    4 & -1 & 5  \\ \end{matrix} \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix}    1 & -1 & 3  \\    0 & 3 & -7  \\    0 & 3 & -7  \\ \end{matrix} \right)\]

В полученной матрице прибавим к третьей строке вторую, умноженную на (-1):

    \[\left( \begin{matrix}    1 & -1 & 3  \\    0 & 3 & -7  \\    0 & 3 & -7  \\ \end{matrix} \right)\tilde{\ }\left( \begin{matrix}    1 & -1 & 3  \\    0 & 3 & -7  \\    0 & 0 & 0  \\ \end{matrix} \right)\]

После элементарных преобразований в матрице осталось две линейно независимые строки, следовательно rang\,A=2 .

Ответ rang\,A=2