Перемножение матриц

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

При умножении матриц $A_{m\times n}$ и $B_{n\times k},$ получается матрица $C=A \cdot B ,$ которая называется произведением матриц и имеет размерность $\left( m\times k \right).$ Элементы матрицы $C$ находятся по следующему правилу: элемент $c_{ij}$ равен сумме попарных произведений элементов $i$ -той строки матрицы $A$ и $j$ -того столбца матрицы $B.$

Перемножение двух матриц $A$ на $B$ осуществляется только в том случае, если число столбцов в матрице $A$ совпадает с числом строк в матрице $B.$

ПРИМЕР 1

Задание

Перемножить матрицы $A \cdot B$ и $B \cdot A$

$A=\left( \begin{matrix} \begin{matrix} -1 & 0 & 2 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 & 1 & -4 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right); \qquad B=\left( \begin{matrix} \begin{matrix} -3 & 7 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 & 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 5 & -2 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right)$

Решение

При умножении матрицы $A_{2\times 3}$ на матрицу $B_{3\times 2}$ получим матрицу $C_{2\times 2}.$ Перемножая исходные матрицы по принципу: строка первой матрицы на столбец второй, получим:

$\begin{matrix} A \cdot B =\left( \begin{matrix} \begin{matrix} -1 & 0 & 2 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 & 1 & -4 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \begin{matrix} -3 & 7 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 & 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 5 & -2 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right)=$

$=\left( \begin{matrix} \left( -1 \right)\cdot \left( -3 \right)+0\cdot 4+2\cdot 5 & \left( -1 \right)\cdot 7+0\cdot 0+2\cdot \left( -2 \right) \\ 3\cdot \left( -3 \right)+1\cdot 4+\left( -4 \right)\cdot 5 & 3\cdot 7+1\cdot 0+\left( -4 \right)\cdot \left( -2 \right) \\ \end{matrix} \right)=$

$=\left( \begin{matrix} 3+0+10 & -7+0-4 \\ -9+4-20 & 21+0+8 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 13 & -11 \\ -25 & 29 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{matrix}$

При умножении матрицы $B_{3\times 2}$ на матрицу $A_{2\times 3}$ получим матрицу $C_{3\times 3}.$ Действительно,

$\begin{matrix} B \cdot A =\left( \begin{matrix} \begin{matrix} -3 & 7 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 & 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 5 & -2 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \begin{matrix} -1 & 0 & 2 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 & 1 & -4 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right)=$

$=\left( \begin{matrix} -3\cdot \left( -1 \right)+7\cdot 3 & -3\cdot 0+7\cdot 1 & -3\cdot 2+7\cdot \left( -4 \right) \\ 4\cdot \left( -1 \right)+0\cdot 3 & 4\cdot 0+0\cdot 1 & 4\cdot 2+0\cdot \left( -4 \right) \\ 5\cdot \left( -1 \right)+\left( -2 \right)\cdot 3 & 5\cdot 0+\left( -2 \right)\cdot 1 & 5\cdot 2+\left( -2 \right)\cdot \left( -4 \right) \\ \end{matrix} \right)=$

$=\left( \begin{matrix} 3+21 & 0+7 & -6-28 \\ -4+0 & 0+0 & 8+0 \\ -5-6 & 0-2 & 10-8 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 24 & 7 & -34 \\ -4 & 0 & 8 \\ -11 & -2 & 2 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{matrix}$

Ответ

Свойства перемножения матриц

$\left( A \cdot B \right)\cdot C =A \cdot \left( B \cdot C \right),$
$A\cdot \left( B+C \right)=A \cdot B +A \cdot C,$
$\left( A+B \right)\cdot C =A \cdot C + B \cdot C ,$
Для единичной матрицы $E$ справедливы равенства: $A \cdot E =E \cdot A = A,$
${\left( A \cdot B \right)}^{T}=A^{T}\cdot B^{T}.$

Здесь $A,$ $B,$ $C$ – произвольные матрицы, для которых указанные равенства имеют смысл.

ЗАМЕЧАНИЕ

В общем случае, операция перемножения матриц не является коммутативной, то есть $A \cdot B \ne B \cdot A .$ Матрицы $A$ и $B$ для которых это равенство выполняется, называются перестановочными.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!