Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Перемножение матриц

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

При умножении матриц A_{m\times n} и B_{n\times k}, получается матрица C=A \cdot B , которая называется произведением матриц и имеет размерность \left( m\times k \right). Элементы матрицы C находятся по следующему правилу: элемент c_{ij} равен сумме попарных произведений элементов i-той строки матрицы A и j-того столбца матрицы B.

Перемножение двух матриц A на B осуществляется только в том случае, если число столбцов в матрице A совпадает с числом строк в матрице B.

ПРИМЕР 1
Задание Перемножить матрицы A \cdot B и B \cdot A

    \[A=\left( \begin{matrix}    \begin{matrix}    -1 & 0 & 2  \\ \end{matrix}  \\    \begin{matrix}    3 & 1 & -4  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix} \right); \qquad B=\left( \begin{matrix}    \begin{matrix}    -3 & 7  \\ \end{matrix}  \\    \begin{matrix}    4 & 0  \\ \end{matrix}  \\    \begin{matrix}    5 & -2  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix} \right)\]

Решение При умножении матрицы A_{2\times 3} на матрицу B_{3\times 2} получим матрицу C_{2\times 2}. Перемножая исходные матрицы по принципу: строка первой матрицы на столбец второй, получим:

    \[\begin{matrix}   A \cdot B =\left( \begin{matrix}    \begin{matrix}    -1 & 0 & 2  \\ \end{matrix}  \\    \begin{matrix}    3 & 1 & -4  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}    \begin{matrix}    -3 & 7  \\ \end{matrix}  \\    \begin{matrix}    4 & 0  \\ \end{matrix}  \\    \begin{matrix}    5 & -2  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix} \right)=\]

    \[=\left( \begin{matrix}    \left( -1 \right)\cdot \left( -3 \right)+0\cdot 4+2\cdot 5 & \left( -1 \right)\cdot 7+0\cdot 0+2\cdot \left( -2 \right)  \\    3\cdot \left( -3 \right)+1\cdot 4+\left( -4 \right)\cdot 5 & 3\cdot 7+1\cdot 0+\left( -4 \right)\cdot \left( -2 \right)  \\ \end{matrix} \right)=\]

    \[   =\left( \begin{matrix}    3+0+10 & -7+0-4  \\    -9+4-20 & 21+0+8  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}    13 & -11  \\    -25 & 29  \\ \end{matrix} \right) \\  \end{matrix}\]

При умножении матрицы B_{3\times 2} на матрицу A_{2\times 3} получим матрицу C_{3\times 3}. Действительно,

    \[\begin{matrix}   B \cdot A =\left( \begin{matrix}    \begin{matrix}    -3 & 7  \\ \end{matrix}  \\    \begin{matrix}    4 & 0  \\ \end{matrix}  \\    \begin{matrix}    5 & -2  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}    \begin{matrix}    -1 & 0 & 2  \\ \end{matrix}  \\    \begin{matrix}    3 & 1 & -4  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix} \right)=\]

    \[=\left( \begin{matrix}    -3\cdot \left( -1 \right)+7\cdot 3 & -3\cdot 0+7\cdot 1 & -3\cdot 2+7\cdot \left( -4 \right)  \\    4\cdot \left( -1 \right)+0\cdot 3 & 4\cdot 0+0\cdot 1 & 4\cdot 2+0\cdot \left( -4 \right)  \\    5\cdot \left( -1 \right)+\left( -2 \right)\cdot 3 & 5\cdot 0+\left( -2 \right)\cdot 1 & 5\cdot 2+\left( -2 \right)\cdot \left( -4 \right)  \\ \end{matrix} \right)=\]

    \[ =\left( \begin{matrix}    3+21 & 0+7 & -6-28  \\    -4+0 & 0+0 & 8+0  \\    -5-6 & 0-2 & 10-8  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}    24 & 7 & -34  \\    -4 & 0 & 8  \\    -11 & -2 & 2  \\ \end{matrix} \right) \\  \end{matrix}\]

Ответ

Свойства перемножения матриц

  1. \left( A \cdot B  \right)\cdot C =A \cdot \left( B \cdot C  \right),
  2. A\cdot \left( B+C \right)=A \cdot B +A \cdot C,
  3. \left( A+B \right)\cdot C =A \cdot C + B \cdot C ,
  4. Для единичной матрицы E справедливы равенства: A \cdot E =E \cdot A = A,
  5. {\left( A \cdot B  \right)}^{T}=A^{T}\cdot B^{T}.

Здесь A, B, C – произвольные матрицы, для которых указанные равенства имеют смысл.

ЗАМЕЧАНИЕ

В общем случае, операция перемножения матриц не является коммутативной, то есть A \cdot B \ne B \cdot A . Матрицы A и B для которых это равенство выполняется, называются перестановочными.