Элементарные преобразования матриц

К элементарным преобразованиям над строками матриц относятся следующие преобразования:

перестановка местами двух строк;
умножение каждого элемента строки на одно и тоже, отличное от нуля, число;
добавление к элементам строки соответствующих элементы другой строки, умноженные на некоторое ненулевое число.

Если матрица $B$ получена в результате элементарных преобразований строк матрицы $A$ , то матрицы $A$ и $B$ называются эквивалентными и обозначают $A \sim B$ .

Примеры элементарных преобразований матриц

Продемонстрируем элементарные преобразования строк на примере матрицы

$A=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 4 \\ -3 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 5 \\ \end{matrix} \right)$

1. Переставим местами первую и третью строки, при этом получится эквивалентная матрица, поэтому между ними ставим знак эквивалентности

$\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 4 \\ -3 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 5 \\ \end{matrix} \right) \sim \left( \begin{matrix} 2 & -1 & 5 \\ -3 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 4 \\ \end{matrix} \right)$

2. Умножим первую строку последней матрицы на $\left( -2 \right)$ :

$\left( \begin{matrix} 2 & 5 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 0 \\ \end{matrix} \right) \sim \left( \begin{matrix} -4 & -10 & 2 \\ -3 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 0 \\ \end{matrix} \right)$

3. Прибавим к первой строке третью, умноженную на 4

$\left( \begin{matrix} -4 & -10 & 1 \\ -3 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \\ \end{matrix} \right) \sim \left( \begin{matrix} -4+1\cdot 4 & -10+4\cdot 4 & 1+4\cdot 0 \\ -3 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 0 & 6 & 1 \\ -3 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \\ \end{matrix} \right)$

Элементарные преобразования строк используются при нахождении ранга матрицы и лежат в основе метода Гаусса.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Элементарные преобразования матриц

Примеры элементарных преобразований матриц