Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Элементарные преобразования матриц

К элементарным преобразованиям над строками матриц относятся следующие преобразования:

  1. перестановка местами двух строк;
  2. умножение каждого элемента строки на одно и тоже, отличное от нуля, число;
  3. добавление к элементам строки соответствующих элементы другой строки, умноженные на некоторое ненулевое число.

Если матрица B получена в результате элементарных преобразований строк матрицы A, то матрицы A и B называются эквивалентными и обозначают A \sim B .

Примеры элементарных преобразований матриц

Продемонстрируем элементарные преобразования строк на примере матрицы

    \[A=\left( \begin{matrix}    1 & 0 & 4  \\    -3 & 2 & 1  \\    2 & -1 & 5  \\ \end{matrix} \right)\]

1. Переставим местами первую и третью строки, при этом получится эквивалентная матрица, поэтому между ними ставим знак эквивалентности

    \[\left( \begin{matrix}    1 & 0 & 4  \\    -3 & 2 & 1  \\    2 & -1 & 5  \\ \end{matrix} \right) \sim \left( \begin{matrix}    2 & -1 & 5  \\    -3 & 2 & 1  \\    1 & 0 & 4  \\ \end{matrix} \right)\]

2. Умножим первую строку последней матрицы на \left( -2 \right):

    \[\left( \begin{matrix}    2 & 5 & -1  \\    -3 & 1 & 2  \\    1 & 4 & 0  \\ \end{matrix} \right) \sim \left( \begin{matrix}    -4 & -10 & 2  \\    -3 & 1 & 2  \\    1 & 4 & 0  \\ \end{matrix} \right)\]

3. Прибавим к первой строке третью, умноженную на 4

    \[\left( \begin{matrix}    -4 & -10 & 1  \\    -3 & 1 & 1  \\    1 & 4 & 0  \\ \end{matrix} \right) \sim \left( \begin{matrix}    -4+1\cdot 4 & -10+4\cdot 4 & 1+4\cdot 0  \\    -3 & 1 & 1  \\    1 & 4 & 0  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}    0 & 6 & 1  \\    -3 & 1 & 1  \\    1 & 4 & 0  \\ \end{matrix} \right)\]

Элементарные преобразования строк используются при нахождении ранга матрицы и лежат в основе метода Гаусса.