Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Операции над матрицами и их свойства

Над матрицами можно выполнять определенные действия, которые, по аналогии с числами, называются сложение, вычитание и умножение. Так же существует действие, которое определяется только для матриц – это транспонирование матриц и нахождение обратной матрицы к данной.

Сложение и вычитание матриц

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Суммой двух матриц A=\left( a_{ij}} \right) и B=\left( b_{ij}} \right) одинакового порядка называют матрицу C=\left( c_{ij}} \right) такого же порядка, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц A и B , то есть c_{ij}}=a_{ij}}+b_{ij}} .

Аналогично, разностью двух матриц A=\left( a_{ij}} \right) и B=\left( b_{ij}} \right) одинакового порядка называют матрицу C=\left( c_{ij}} \right) такого же порядка, элементы которой равны разности соответствующих элементов матриц A и B , то есть c_{ij}}=a_{ij}}-b_{ij}} .

Свойства операций сложения и вычитания матриц

    \[A+\left( B+C \right)=\left( A+B \right)+C$ \[A+B=B+A\]

    \[A+\theta =A\]

    \[A-\theta =A\]

    \[A-A=\theta \]

ПРИМЕР 1
Задание Найти сумму и разность матриц A и B , если

    \[A=\left( \begin{matrix}    \begin{matrix}    12  \\    -3  \\    0  \\ \end{matrix} & \begin{matrix}    2  \\    4  \\    7  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix} \right) ,\text{ }B=\left( \begin{matrix}    \begin{matrix}    -4  \\    -3  \\    10  \\ \end{matrix} & \begin{matrix}    8  \\    6  \\    1  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix} \right)\]

Решение Найдем сумму заданных матриц, для этого сложим соответствующие элементы этих матриц:

    \[A+B=\left( \begin{matrix}    \begin{matrix}    12+\left( -4 \right)  \\    -3+\left( -3 \right)  \\    0+10  \\ \end{matrix} & \begin{matrix}    2+8  \\    4+6  \\    7+1  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}    \begin{matrix}    8  \\    -6  \\    10  \\ \end{matrix} & \begin{matrix}    10  \\    10  \\    8  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix} \right)\]

Найдем разность A-B , для этого из элементов матрицы A вычтем соответствующие элементы матрицы B:

    \[A-B=\left( \begin{matrix}    \begin{matrix}    12-\left( -4 \right)  \\    -3-\left( -3 \right)  \\    0-10  \\ \end{matrix} & \begin{matrix}    2-8  \\    4-6  \\    7-1  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}    \begin{matrix}    16  \\    0  \\    -10  \\ \end{matrix} & \begin{matrix}    -6  \\    -2  \\    6  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix} \right)\]

Ответ

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы A=\left( a_{ij}} \right) на число k есть матрица C=\left( c_{ij}} \right) того же порядка, что и матрица A , элементы которой получены умножением соответствующих элементов матриц A на число k , то есть c_{ij}}=k\cdot a_{ij}}.

Свойства операции умножения матрицы на число

    \[1\cdot A=A\]

    \[0\cdot A=\theta \]

    \[m\cdot \left( k\cdot A \right)=\left( m\cdot k \right)\cdot A \]

    \[\left( m+k \right)\cdot A=m\cdot A+k\cdot A\]

    \[k\cdot \left( A+B \right)=k\cdot A+k\cdot B\]

ПРИМЕР 2
Задание Найти произведение 2\cdot A

    \[A=\left( \begin{matrix}    -2 & 1  \\    0 & 4  \\ \end{matrix} \right)\]

Решение Умножим каждый элемент заданной матрицы на 2:

    \[2\cdot A=\left( \begin{matrix}    2\cdot \left( -2 \right) & 2\cdot 1  \\    2\cdot 0 & 2\cdot 4  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}    -4 & 2  \\    0 & 8  \\ \end{matrix} \right)\]

Ответ

Умножение матриц

Если количество столбцов матрицы A \left( k\times n \right) равно числу строк матрицы B \left( n\times p \right) , то для них определена матрица C размерности \left( k\times p \right) , которую называют её произведением. Элементы матрицы C находятся по правилу: элемент c_{ij}} равен сумме попарных произведений элементов i-той строки матрицы A и j-того столбца матрицы B:

    \[c_{ij}}=a_{i1}}b_{1j}}+a_{i2}}b_{2j}}+\ldots +a_{in}}b_{nj}}=\sum\limits_{s=1}^{n}{a_{sn}}b_{sj}}}\]

Свойства операции умножения матриц

    \[A\cdot \left( B\cdot C \right)=\left( A\cdot B \right)\cdot C\]

    \[k\cdot \left( A\cdot B \right)=\left( k\cdot A \right)\cdot B\]

    \[\left( A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C\]

    \[C\cdot \left( A+B \right)=C\cdot A+C\cdot B\]

ЗАМЕЧАНИЕ
В общем случае, для произвольных матриц A и B, A\cdot B \ne B \cdot A. Если же это равенство выполняется (A \cdot B = B \cdot A), то матрицы A и B называются коммутативными. Единичная матрица E коммутативна с любой другой, то есть E \cdot A =A \cdot E = A и играет роль единицы при умножении.
ПРИМЕР 3
Задание Найти произведение матриц A \cdot B и B \cdot A  , если

    \[A=\left( \begin{matrix}    1 & 2  \\    3 & 4  \\ \end{matrix} \right),   B=\left( \begin{matrix}    5 & 6  \\    7 & 8  \\ \end{matrix} \right)\]

Решение По правилу умножения матриц,

    \[A \cdot B =\left( \begin{matrix}    1\cdot 5+2\cdot 7 & 1\cdot 6+2\cdot 8  \\    3\cdot 5+4\cdot 7 & 3\cdot 6+4\cdot 8  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}    19 & 22  \\    43 & 50  \\ \end{matrix} \right)\]

    \[B \cdot A =\left( \begin{matrix}    5\cdot 1+6\cdot 3 & 5\cdot 2+6\cdot 4  \\    7\cdot 1+8\cdot 3 & 7\cdot 2+8\cdot 4  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}    23 & 34  \\    31 & 46  \\ \end{matrix} \right)\]

Как видно A \cdot B \ne B \cdot A.

Ответ
ПРИМЕР 4
Задание Проверить, существуют ли произведения A \cdot B и B \cdot A  , если

    \[A =\left( \begin{matrix}    \begin{matrix}    1 & 3 & 2  \\ \end{matrix}  \\    \begin{matrix}    6 & 4 & 5  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix} \right); \qquad B =\left( \begin{matrix}    3 & 2 & 1  \\    2 & 1 & 3  \\    4 & 3 & 0  \\ \end{matrix} \right)\]

Решение Количество столбцов матрицы A совпадает с количеством строк матрицы B , таким образом можно найти произведение матрицы A \cdot B:

    \[\begin{matrix}   A \cdot B =\left( \begin{matrix}    \begin{matrix}    1 & 3 & 2  \\ \end{matrix}  \\    \begin{matrix}    6 & 4 & 5  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix}    3 & 2 & 1  \\    2 & 1 & 3  \\    4 & 3 & 0  \\ \end{matrix} \right)=\]

    \[=\left( \begin{matrix}    \begin{matrix}    1\cdot 3+3\cdot 2+2\cdot 4 & 1\cdot 2+3\cdot 1+2\cdot 3 & 1\cdot 1+3\cdot 3+2\cdot 0  \\ \end{matrix}  \\    \begin{matrix}    6\cdot 3+4\cdot 2+5\cdot 4 & 6\cdot 2+4\cdot 1+5\cdot 3 & 6\cdot 1+4\cdot 3+5\cdot 0  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix} \right)    =\left( \begin{matrix}    \begin{matrix}    17 & 11 & 10  \\ \end{matrix}  \\    \begin{matrix}    46 & 31 & 18  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix} \right) \\  \end{matrix}\]

Найти произведение B \cdot A невозможно, так как количество столбцов матрицы B не совпадает с количеством строк матрицы A.

Ответ

Транспонирование матриц

Если в матрице A =\left( a_{ij}} \right) размерности \left( m\times n \right) заменить строки столбцами с соответствующими номерами, то получим транспонированную матрицу A^{T}} размерности \left( n\times m \right).

Свойства транспонированной матрицы

  1. Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице

        \[A^{TT}}={\left( A^{T} \right)}^{T}=A ;\]

  2. транспонированная матрица суммы равна сумме транспонированных матриц

        \[{\left( A+B \right)}^{T}=A^{T}+B^{T} ;\]

  3. Транспонированная матрица произведения равна произведению транспонированных матриц сомножителей, взятых в обратном порядке

        \[{\left( A \cdot B  \right)}^{T}=B^{T}\cdot A^{T}\]

ПРИМЕР 5
Задание Транспонировать матрицу A

    \[A=\left( \begin{matrix}    \begin{matrix}    4 & 2 & -1 & 1  \\ \end{matrix}  \\    \begin{matrix}    1 & 0 & 5 & -7  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix} \right)\]

Решение Запишем строки заданной матрицы по столбцам

    \[A^{T}=\left( \begin{matrix}    \begin{matrix}    4  \\    2  \\    -1  \\    1  \\ \end{matrix} & \begin{matrix}    1  \\    0  \\    5  \\    -7  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix} \right)\]

Ответ

Обратная матрица

Для невырожденной квадратной матрицы A (\det A\ne 0) существует обратная матрица A^{-1} , такая что A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E. Найти обратную матрицу можно по формуле

    \[A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left( \begin{matrix}    A_{11} & A_{21} & \ldots  & A_{n1}  \\    A_{12} & A_{22} & \ldots  & A_{n2}  \\    \ldots  & \ldots  & \ldots  & {}  \\    A_{1n} & A_{2n} & \ldots  & A_{nn}  \\ \end{matrix} \right),\]

где A_{ij}алгебраические дополнения элементов a_{ij} матрицы A. Если матрицу из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы обозначить A^{*} , то последняя формула примет вид

    \[A^{-1}=\frac{1}{\det A}{\left( A^{*} \right)}^{T}\]

Свойства обратных матриц

    \[{\left( A^{-1} \right)}^{-1}=A \]

    \[{\left( A \cdot B  \right)}^{-1}=A^{-1}\cdot B^{-1}\]

    \[{\left( A^{-1} \right)}^{T}\cdot A^{T}={\left( A \cdot A^{-1} \right)}^{T}={{E}^{T}=E\]

    \[{\left( A^{-1} \right)}^{T}={\left( A^{T} \right)}^{-1}\]

    \[\det A^{-1}=\frac{1}{\det A}\]

ПРИМЕР 6
Задание Найти обратную матрицу к матрице A

    \[A=\left( \begin{matrix}    -1 & 2  \\    1 & -4  \\ \end{matrix} \right)\]

Решение Вычислим определитель заданной матрицы

    \[\det A=\left| \begin{matrix}    -1 & 2  \\    1 & -4  \\ \end{matrix} \right|=\left( -1 \right)\cdot \left( -4 \right)-1\cdot 2=4-2=2\]

Определитель не равен нулю, следовательно, матрица A невырожденная и для неё существует обратная матрица A^{-1} . Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы A:

    \[A_{11}={\left( -1 \right)}^{1+1}\cdot \left| -4 \right|=-4; \qquad  A_{12}={\left( -1 \right)}^{1+2}\cdot \left| 1 \right|=-1\]

    \[A_{21}={\left( -1 \right)}^{2+1}\cdot \left| 2 \right|=-2; \qquad A_{22}={\left( -1 \right)}^{2+2}\cdot \left| -1 \right|=-1\]

Составим матрицу из алгебраических дополнений

    \[A^{*}=\left( \begin{matrix}    -4 & -1  \\    -2 & 1  \\ \end{matrix} \right)\]

Транспонируем её

    \[{\left( A^{*} \right)}^{T}=\left( \begin{matrix}    -4 & -2  \\    -1 & 1  \\ \end{matrix} \right)\]

Используя формулу A^{-1}=\frac{1}{\det A}{\left( A^{*} \right)}^{T} , запишем искомую обратную матрицу

    \[A^{-1}=\frac{1}{2}\cdot \left( \begin{matrix}    -4 & -2  \\    -1 & 1  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}    -2 & -1  \\    -1/2\; & 1/2\;  \\ \end{matrix} \right)\]

Ответ