Примеры решения матриц

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Матрицей $m \times n$ называется прямоугольная таблица чисел $a_{ij}$ ( $i=\overline{1, m}$ и $i=\overline{n}$ ), состоящая из $n$ столбцов и $m$ строк, где $a_{ij}$ – это элемент стоящий на пересечении $i$ -ой строки и $j$ -го столбца.

Для матриц введены такие основные операции:

сложение и вычитание матриц;
умножение матриц на число;
умножение матрицы на матрицу.

Так же для матриц существуют такие понятия как транспонированная матрица и обратная матрица.

Примеры

ПРИМЕР 1

Задание

Даны матрицы $A$ и $B$ . Найти $A+B$ и $2A-3B$ .

$A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & -2 \\ -5 & 0 \end{pmatrix} \text{ };\text{ } B = \begin{pmatrix} -1 & -7 \\ 0 & 1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}$

Решение

Найдем $A+B$ , для этого сложим соответствующие элементы этих матриц

$A+B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & -2 \\ -5 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & -7 \\ 0 & 1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+(-1) & 4+(-7) \\ 3+0 & -2+1 \\ -5+6 & 0+(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 3 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

Вычислим $2A-3B$ :

$2A-3B = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & -2 \\ -5 & 0 \end{pmatrix} - 3 \cdot \begin{pmatrix} -1 & -7 \\ 0 & 1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}$

Сначала умножим матрицы на соответствующие числа, для этого каждый элемент первой матрицы умножим на 2, а каждый элемент второй матрицы – на 3. В результате будем иметь:

$2A-3B = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 4 \\ 2 \cdot 3 & 2 \cdot (-2) \\ 2 \cdot (-5) & 2 \cdot 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \cdot (-1) & 3 \cdot (-7) \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 6 & 3 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 6 & -4 \\ -10 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & -21 \\ 0 & 3 \\ 18 & -3 \end{pmatrix}$

Вычтем полученные матрицы, для этого из соответствующих элементов первой матрицы вычтем соответствующие элементы второй матрицы:

$2A-3B = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 6 & -4 \\ -10 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & -21 \\ 0 & 3 \\ 18 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-(-3) & 8-(-21) \\ 6-0 & -4-3 \\ -10-18 & 0-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 29 \\ 6 & -7 \\ -28 & 3 \end{pmatrix}$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Заданы матрицы $A$ и $B$ . Найти произведения этих матриц: $AB$ и $BA$ .

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \text{ };\text{ } B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

Решение

При нахождении произведения $AB$ матрица размером $2 \times 3$ умножается на матрицу размером $3 \times 2$ , в результате получится матрица $2 \times 2$ . Действительно, по правилу умножения матриц будем умножать строку первой матрицы на столбец второй, получим

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot (-1) & 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \\ 0 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 + 1 \cdot (-1) & 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} =$

$= \begin{pmatrix} -1 & 8 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$

Аналогично найдем произведение $BA$ и, так как при этом умножается матрица размером $3 \times 2$ на матрицу размером $2 \times 3$ , то размер матрицы-произведения будет $3 \times 3$ :

$BA = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 2 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) & 2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 & 0 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) & 0 \cdot 3 + 2 \cdot 1 \\ -1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & -1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) & -1 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} =$

$= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 0 & -2 & 2 \\ -1 & -3 & -2 \end{pmatrix}$

Ответ

ПРИМЕР 3

Задание

Найти обратную матрицу для матрицы $A$

$A = \begin{pmatrix} 2 & 7 & 3 \\ 3 & 9 & 4 \\ 1 & 5 & 3 \end{pmatrix}$

Решение

Для того, чтобы матрица была обратима, её определитель должен быть ненулевым. Найдем определитель исходной матрицы третьего порядка, используя правило треугольника:

$\det A = \begin{vmatrix} 2 & 7 & 3 \\ 3 & 9 & 4 \\ 1 & 5 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 9 \cdot 3 + 1 \cdot 7 \cdot 4 + 3 \cdot 5 \cdot 3 - 1 \cdot 9 \cdot 3 -$

$- 3 \cdot 7 \cdot 3 - 2 \cdot 4 \cdot 5 = 54+28+45-27-63-40=-3 \neq 0$

Определитель не равен нулю, следовательно, исходная матрица обратима. Обратную матрицу будем искать по формуле

$A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{pmatrix}$

где $A_{ij}$ — алгебраическое дополнение к соответствующему элементу $a_{ij}$ .

Найдем все алгебраические дополнения:

$A_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 9 & 4 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = 7 \text{ };\text{ } A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -5$

$A_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 3 & 9 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 6 \text{ };\text{ } A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = -6$

$A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3 \text{ };\text{ } A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = -3$

$A_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 9 & 4 \end{vmatrix} = 1 \text{ };\text{ } A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1$

$A_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 3 & 9 \end{vmatrix} = -3$

Подставляя все в формулу для нахождения обратной матрицы, получим

$A^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} 7 & -6 & 1 \\ -5 & 3 & 1 \\ 6 & -3 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{7}{3} & 2 &-\frac{1}{3} \\ \frac{5}{3} & -1 & -\frac{1}{3} \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Ответ

ПРИМЕР 4

Задание

Найти методом Гаусса обратную матрицу для матрицы $A$

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

Решение

Запишем исходную матрицу и единичную матрицу рядом через черту:

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Используя элементарные преобразования строк, приведем левую матрицу к единичной матрице. Из первой строки вычтем вторую строку:

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ~ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Далее, из второй строки вычтем первую, а из третьей строки вычтем первую, умноженную на 3:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ~ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 5 & -3 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

Из третьей строки вычтем две вторых строки:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 5 & -3 & 3 & 1 \end{pmatrix} ~ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

Умножив вторую и третью строки на $(-1)$ :

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} ~ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

К первой строке прибавим третью, ко второй прибавим третью умноженную на 3:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} ~ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

Из первой строки вычтем вторую строку:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} ~ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

Полученная справа от черты матрица и будет обратной для исходной матрицы.

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Примеры решения матриц

Примеры