Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Примеры решения матриц

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Матрицей  m \times n называется прямоугольная таблица чисел a_{ij} ( i=\overline{1, m} и i=\overline{n} ), состоящая из n столбцов и m строк, где a_{ij} – это элемент стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца.

Для матриц введены такие основные операции:

  1. сложение и вычитание матриц;
  2. умножение матриц на число;
  3. умножение матрицы на матрицу.

Так же для матриц существуют такие понятия как транспонированная матрица и обратная матрица.

Примеры

ПРИМЕР 1
Задание Даны матрицы A и B . Найти A+B и 2A-3B .

    \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & -2 \\ -5 & 0 \end{pmatrix} \text{ };\text{ } B = \begin{pmatrix} -1 & -7 \\ 0 & 1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix} \]

Решение Найдем A+B , для этого сложим соответствующие элементы этих матриц

    \[ A+B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & -2 \\ -5 & 0 \end{pmatrix} +  \begin{pmatrix} -1 & -7 \\ 0 & 1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 1+(-1) & 4+(-7) \\ 3+0 & -2+1 \\ -5+6 & 0+(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 3 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \]

Вычислим 2A-3B :

    \[ 2A-3B = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & -2 \\ -5 & 0 \end{pmatrix} - 3 \cdot   \begin{pmatrix} -1 & -7 \\ 0 & 1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix} \]

Сначала умножим матрицы на соответствующие числа, для этого каждый элемент первой матрицы умножим на 2, а каждый элемент второй матрицы – на 3. В результате будем иметь:

    \[ 2A-3B = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 4 \\ 2 \cdot 3 & 2 \cdot (-2) \\ 2 \cdot (-5) & 2 \cdot 0 \end{pmatrix} -   \begin{pmatrix} 3 \cdot (-1) & 3 \cdot (-7) \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 6 & 3 \cdot (-1) \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 6 & -4 \\ -10 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & -21 \\ 0 & 3 \\ 18 & -3 \end{pmatrix} \]

Вычтем полученные матрицы, для этого из соответствующих элементов первой матрицы вычтем соответствующие элементы второй матрицы:

    \[ 2A-3B =  \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 6 & -4 \\ -10 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & -21 \\ 0 & 3 \\ 18 & -3 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 2-(-3) & 8-(-21) \\ 6-0 & -4-3 \\ -10-18 & 0-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 29 \\ 6 & -7 \\ -28 & 3 \end{pmatrix} \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Заданы матрицы A и B . Найти произведения этих матриц: AB и BA .

    \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \text{ };\text{ } B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \]

Решение При нахождении произведения AB матрица размером 2 \times 3 умножается на матрицу размером 3 \times 2 , в результате получится матрица 2 \times 2 . Действительно, по правилу умножения матриц будем умножать строку первой матрицы на столбец второй, получим

    \[ AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot (-1) & 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \\ 0 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 + 1 \cdot (-1) & 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \]

    \[ = \begin{pmatrix} -1 & 8 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \]

Аналогично найдем произведение BA и, так как при этом умножается матрица размером 3 \times 2 на матрицу размером 2 \times 3 , то размер матрицы-произведения будет 3 \times 3 :

    \[ BA =  \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1  + 1 \cdot 0 & 2 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) & 2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 & 0 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) & 0 \cdot 3 + 2 \cdot 1 \\ -1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & -1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) & -1 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \]

    \[ = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 0 & -2 & 2 \\ -1 & -3 & -2 \end{pmatrix} \]

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Найти обратную матрицу для матрицы A

    \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 7 & 3 \\ 3 & 9 & 4 \\ 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} \]

Решение Для того, чтобы матрица была обратима, её определитель должен быть ненулевым. Найдем определитель исходной матрицы третьего порядка, используя правило треугольника:

    \[ \det A = \begin{vmatrix} 2 & 7 & 3 \\ 3 & 9 & 4 \\ 1 & 5 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 9 \cdot 3 + 1 \cdot 7 \cdot 4 + 3 \cdot 5 \cdot 3 - 1 \cdot 9 \cdot 3 - \]

    \[    - 3 \cdot 7 \cdot 3 - 2 \cdot 4 \cdot 5 = 54+28+45-27-63-40=-3 \neq 0 \]

Определитель не равен нулю, следовательно, исходная матрица обратима. Обратную матрицу будем искать по формуле

    \[ A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{pmatrix} \]

где A_{ij} — алгебраическое дополнение к соответствующему элементу a_{ij} .

Найдем все алгебраические дополнения:

    \[ A_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 9 & 4  \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = 7 \text{ };\text{ } A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 3 & 4  \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -5 \]

    \[ A_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 3 & 9  \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 6 \text{ };\text{ } A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 7 & 3  \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = -6 \]

    \[ A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 2 & 3  \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3 \text{ };\text{ } A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 2 & 7  \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = -3 \]

    \[ A_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 7 & 3  \\ 9 & 4 \end{vmatrix} = 1 \text{ };\text{ } A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 2 & 3  \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \]

    \[ A_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 2 & 7  \\ 3 & 9 \end{vmatrix} = -3 \]

Подставляя все в формулу для нахождения обратной матрицы, получим

    \[ A^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} 7 & -6 & 1 \\ -5 & 3 & 1 \\ 6 & -3 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{7}{3} & 2 &-\frac{1}{3} \\ \frac{5}{3} & -1 & -\frac{1}{3} \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]

Ответ
ПРИМЕР 4
Задание Найти методом Гаусса обратную матрицу для матрицы A

    \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]

Решение Запишем исходную матрицу и единичную матрицу рядом через черту:

    \[ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Используя элементарные преобразования строк, приведем левую матрицу к единичной матрице. Из первой строки вычтем вторую строку:

    \[ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ~  \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Далее, из второй строки вычтем первую, а из третьей строки вычтем первую, умноженную на 3:

    \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ~ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 5 & -3 & 3 & 1 \end{pmatrix}  \]

Из третьей строки вычтем две вторых строки:

    \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 5 & -3 & 3 & 1 \end{pmatrix} ~ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}  \]

Умножив вторую и третью строки на (-1) :

    \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}  ~ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}  \]

К первой строке прибавим третью, ко второй прибавим третью умноженную на 3:

    \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}  ~ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}  \]

Из первой строки вычтем вторую строку:

    \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}  ~ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}  \]

Полученная справа от черты матрица и будет обратной для исходной матрицы.

Ответ