Виды интегралов

Неопределенный и определенный интегралы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Неопределенный интеграл – это множество всех первообразных $F\left( x \right)+C$ некоторой функции $f\left( x \right)$ :

$\int{f\left( x \right)dx}=F\left( x \right)+C$

Например. $\int{{{x}^{2}}dx}=\frac{{{x}^{3}}}{3}+C$

Подробнее про неопределенные интегралы читайте по ссылке.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Определённый интеграл от функции $f\left( x \right)$ на отрезке $\left[ a;\ b \right]$ – предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, если он существует независимо от разбиения и выбора точек внутри элементарных отрезков:

$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\underset{\Delta {{x}_{i}}\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=0}^{n}{f\left( {{\xi }_{i}} \right)\Delta {{x}_{i}}}$

Например. $\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}dx}=\left. \frac{{{x}^{3}}}{3} \right|_{0}^{1}=\frac{1}{3}\cdot \left( {{1}^{3}}-{{0}^{3}} \right)=\frac{1}{3}$

Подробнее про определенные интегралы читайте по ссылке.

Собственный и несобственный интегралы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Собственный интеграл – это определенный интеграл, для которого ограниченной является как подынтегральная функция, так и область интегрирования.

Например. $\int\limits_{2}^{3}{\frac{dx}{x}}$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Несобственный интеграл – определенный интеграл, для которого неограниченна либо подынтегральная функция, либо область интегрирования, либо и то, и другое вместе.

Например. $\int\limits_{-2}^{3}{\frac{dx}{x}}$

Пусть функция $y=f\left( x \right)$ определена на полуоси $\left[ a;\ +\infty \right)$ и интегрируема на любом отрезке $\left[ a;\ b \right]\subset \left[ a;\ +\infty \right)$ . Предел интеграла $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$ при $b\to +\infty$ называется несобственным интегралом первого рода функции $y=f\left( x \right)$ от a до $+\infty$ и обозначается $\int\limits_{a}^{+\infty }{f\left( x \right)dx}$ :

$\int\limits_{a}^{+\infty }{f\left( x \right)dx}=\underset{b\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$

Например. $\int\limits_{2}^{+\infty }{xdx}$

Подробнее про несобственные интегралы читайте по ссылке.

Сходящийся и расходящийся интегралы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если предел $\int\limits_{a}^{+\infty }{f\left( x \right)dx}=\underset{b\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$ существует и конечен, то несобственный интеграл первого рода $\int\limits_{a}^{+\infty }{f\left( x \right)dx}$ называется сходящимся.

Например. $\int\limits_{2}^{+\infty }{\frac{dx}{{{x}^{2}}}}$

В противном случае несобственный интеграл первого рода называется расходящимся.

Например. $\int\limits_{2}^{+\infty }{xdx}$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть функция $y=f\left( x \right)$ определена на полуинтервале $\left( a;\ b \right]$ и интегрируема по любому отрезку $\left[ a+\varepsilon ;\ b \right]$ , где $\varepsilon \in \left( 0;\ b-a \right)$ . Пусть $\underset{x\to a+0}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty$ . Несобственным интегралом второго рода от функции $y=f\left( x \right)$ по отрезку $\left[ a;\ b \right]$ называется предел $\underset{\varepsilon \to 0+0}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a+\varepsilon }^{b}{f\left( x \right)dx}$ :

$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\underset{\varepsilon \to 0+0}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a+\varepsilon }^{b}{f\left( x \right)dx}$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если предел $\underset{\varepsilon \to 0+0}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a+\varepsilon }^{b}{f\left( x \right)dx}$ конечен, то несобственный интеграл первого рода называется сходящимся.

Например. $\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{x}}}$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл второго рода называется расходящимся.

Например. $\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{x}}$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Кратным или многократным интегралом называется множество интегралов, взятых от $n>1$ переменных:

$\underbrace{\int\limits_{{{a}_{1}}}^{{{b}_{1}}}{...\int\limits_{{{a}_{n}}}^{{{b}_{n}}}{{}}}}_{n}f\left( {{x}_{1}};..\text{;}\ {{x}_{n}} \right)d{{x}_{1}}...d{{x}_{n}}$

Например. $\int\limits_{-3}^{1}{\ \int\limits_{0}^{4}{\ \int\limits_{5}^{6}{\left( x+y+z \right)dxdydz}}}$

Криволинейные и поверхностные интегралы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Криволинейный интеграл – интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Пусть задана кривая $C$ и функция $f\left( x;\ y \right)$ непрерывна на этой кривой. Тогда криволинейным интегралом первого рода от функции $f\left( x;\ y \right)$ вдоль кривой $C$ называется интеграл $\int\limits_{C}{f\left( x;\ y \right)ds}$ .

Например. $\int\limits_{C}{\left( x+y \right)ds}$ , где $C:y={{x}^{2}},\ 0\le x\le 1$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если на кривой $C$ определены функции $P\left( x;\ y \right)$ и $Q\left( x;\ y \right)$ , то криволинейным интегралом второго рода называется интеграл вида $\int\limits_{C}{P\left( x;\ y \right)dx+Q\left( x;\ y \right)dy}$ .

Например. $\int\limits_{C}{\left( x+y \right)dx+\left( x-y \right)dy}$ , где $C:y={{x}^{2}},\ 0\le x\le 1$

Подробнее про криволинейные интегралы читайте по ссылке.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Поверхностным интегралом первого рода от функции $f\left( x;\ y; \right)$ по некоторой поверхности $S$ называется интеграл $\iint\limits_{S}{f\left( x;\ y;\ z \right)dS}$ .

Например. $\iint\limits_{S}{\left( x+y+z \right)dS}$ , где $S$ − часть плоскости $x+2y+3z=0$ , лежащая в первом октанте.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Поверхностным интегралом второго рода по фиксированной стороне двусторонней поверхности $S$ называется интеграл вида $\iint\limits_{S}{P\left( x;\ y;\ z \right)dydz+Q\left( x;\ y;\ z \right)dxdz+R\left( x;\ y;\ z \right)dxdy}$ .

Например. $\iint\limits_{S}{\frac{dydz}{x}+\frac{dxdz}{y}+\frac{dxdy}{z}}$ , где $S$ − часть внутренней поверхности эллипсоида ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Для функции $y=f\left( x \right)$ , непрерывной на отрезке $\left[ a;\ b \right]$ функция $F\left( x \right)=\int\limits_{a}^{x}{f\left( t \right)dt}$ называется интегралом с переменным верхним пределом.

Например. $\int\limits_{0}^{x}{tdt}$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Интеграл $I\left( \alpha \right)=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x;\ \alpha \right)dx}$ называется интегралом, зависящим от параметра $\alpha$ .

Например. $\int\limits_{0}^{+\infty }{{{x}^{\alpha -1}}{{e}^{-x}}dx}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Виды интегралов

Неопределенный и определенный интегралы

Собственный и несобственный интегралы

Сходящийся и расходящийся интегралы

Криволинейные и поверхностные интегралы