Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Виды интегралов

Неопределенный и определенный интегралы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Неопределенный интеграл – это множество всех первообразных F\left( x \right)+C некоторой функции f\left( x \right):

    \[\int{f\left( x \right)dx}=F\left( x \right)+C\]

Например. \int{{{x}^{2}}dx}=\frac{{{x}^{3}}}{3}+C

Подробнее про неопределенные интегралы читайте по ссылке.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Определённый интеграл от функции f\left( x \right) на отрезке \left[ a;\ b \right] – предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, если он существует независимо от разбиения и выбора точек внутри элементарных отрезков:

    \[\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\underset{\Delta {{x}_{i}}\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=0}^{n}{f\left( {{\xi }_{i}} \right)\Delta {{x}_{i}}}\]

Например. \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}dx}=\left. \frac{{{x}^{3}}}{3} \right|_{0}^{1}=\frac{1}{3}\cdot \left( {{1}^{3}}-{{0}^{3}} \right)=\frac{1}{3}

Подробнее про определенные интегралы читайте по ссылке.

Собственный и несобственный интегралы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Собственный интеграл – это определенный интеграл, для которого ограниченной является как подынтегральная функция, так и область интегрирования.

Например. \int\limits_{2}^{3}{\frac{dx}{x}}

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Несобственный интегралопределенный интеграл, для которого неограниченна либо подынтегральная функция, либо область интегрирования, либо и то, и другое вместе.

Например. \int\limits_{-2}^{3}{\frac{dx}{x}}

Пусть функция y=f\left( x \right) определена на полуоси \left[ a;\ +\infty  \right) и интегрируема на любом отрезке \left[ a;\ b \right]\subset \left[ a;\ +\infty  \right). Предел интеграла \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx} при b\to +\infty называется несобственным интегралом первого рода функции y=f\left( x \right) от a до +\inftyи обозначается \int\limits_{a}^{+\infty }{f\left( x \right)dx}:

    \[\int\limits_{a}^{+\infty }{f\left( x \right)dx}=\underset{b\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\]

Например. \int\limits_{2}^{+\infty }{xdx}

Подробнее про несобственные интегралы читайте по ссылке.

Сходящийся и расходящийся интегралы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если предел \int\limits_{a}^{+\infty }{f\left( x \right)dx}=\underset{b\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx} существует и конечен, то несобственный интеграл первого рода \int\limits_{a}^{+\infty }{f\left( x \right)dx} называется сходящимся.

Например. \int\limits_{2}^{+\infty }{\frac{dx}{{{x}^{2}}}}

В противном случае несобственный интеграл первого рода называется расходящимся.

Например. \int\limits_{2}^{+\infty }{xdx}

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть функция y=f\left( x \right) определена на полуинтервале \left( a;\ b \right] и интегрируема по любому отрезку \left[ a+\varepsilon ;\ b \right], где \varepsilon \in \left( 0;\ b-a \right). Пусть \underset{x\to a+0}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty. Несобственным интегралом второго рода от функции y=f\left( x \right) по отрезку \left[ a;\ b \right] называется предел \underset{\varepsilon \to 0+0}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a+\varepsilon }^{b}{f\left( x \right)dx}:

    \[\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\underset{\varepsilon \to 0+0}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a+\varepsilon }^{b}{f\left( x \right)dx}\]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если предел \underset{\varepsilon \to 0+0}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a+\varepsilon }^{b}{f\left( x \right)dx} конечен, то несобственный интеграл первого рода называется сходящимся.

Например. \int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{x}}}

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл второго рода называется расходящимся.

Например. \int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{x}}

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Кратным или многократным интегралом называется множество интегралов, взятых от n>1 переменных:

    \[\underbrace{\int\limits_{{{a}_{1}}}^{{{b}_{1}}}{...\int\limits_{{{a}_{n}}}^{{{b}_{n}}}{{}}}}_{n}f\left( {{x}_{1}};..\text{;}\ {{x}_{n}} \right)d{{x}_{1}}...d{{x}_{n}}\]

Например. \int\limits_{-3}^{1}{\ \int\limits_{0}^{4}{\ \int\limits_{5}^{6}{\left( x+y+z \right)dxdydz}}}

Криволинейные и поверхностные интегралы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Криволинейный интеграл – интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Пусть задана кривая C и функция f\left( x;\ y \right) непрерывна на этой кривой. Тогда криволинейным интегралом первого рода от функции f\left( x;\ y \right) вдоль кривой C называется интеграл \int\limits_{C}{f\left( x;\ y \right)ds}.

Например. \int\limits_{C}{\left( x+y \right)ds}, где C:y={{x}^{2}},\ 0\le x\le 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если на кривой C определены функции P\left( x;\ y \right) и Q\left( x;\ y \right), то криволинейным интегралом второго рода называется интеграл вида \int\limits_{C}{P\left( x;\ y \right)dx+Q\left( x;\ y \right)dy}.

Например. \int\limits_{C}{\left( x+y \right)dx+\left( x-y \right)dy}, где C:y={{x}^{2}},\ 0\le x\le 1

Подробнее про криволинейные интегралы читайте по ссылке.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Поверхностным интегралом первого рода от функции f\left( x;\ y; \right) по некоторой поверхности S называется интеграл \iint\limits_{S}{f\left( x;\ y;\ z \right)dS}.

Например. \iint\limits_{S}{\left( x+y+z \right)dS}, где S − часть плоскости x+2y+3z=0, лежащая в первом октанте.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Поверхностным интегралом второго рода по фиксированной стороне двусторонней поверхности S называется интеграл вида \iint\limits_{S}{P\left( x;\ y;\ z \right)dydz+Q\left( x;\ y;\ z \right)dxdz+R\left( x;\ y;\ z \right)dxdy}.

Например. \iint\limits_{S}{\frac{dydz}{x}+\frac{dxdz}{y}+\frac{dxdy}{z}}, где S − часть внутренней поверхности эллипсоида {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Для функции y=f\left( x \right), непрерывной на отрезке \left[ a;\ b \right] функция F\left( x \right)=\int\limits_{a}^{x}{f\left( t \right)dt} называется интегралом с переменным верхним пределом.

Например. \int\limits_{0}^{x}{tdt}

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Интеграл I\left( \alpha  \right)=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x;\ \alpha  \right)dx} называется интегралом, зависящим от параметра \alpha.

Например. \int\limits_{0}^{+\infty }{{{x}^{\alpha -1}}{{e}^{-x}}dx}