Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Применение интегралов в физике и математике

1. Перемещение материальной точки

Пусть точка движется по прямой (по оси Ox) и известна скорость движения этой точки. Пусть скорость меняется и задан закон этого изменения v=v\left( t \right) на некотором отрезке \left[ {{t}_{1}};\ {{t}_{2}} \right]. Тогда перемещение равно

    \[ S=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{v\left( t \right)dt}\]

ПРИМЕР 1
Задание Материальная точка движется со скоростью v\left( t \right)={{t}^{2}}+1. Вычислить ее перемещение за промежуток времени \left[ 0;\ 1 \right] секунды.
Решение Искомое перемещение равно определенному интегралу

    \[S=\int\limits_{0}^{1}{\left( {{t}^{2}}+1 \right)dt}=\left. \left( \frac{{{t}^{3}}}{3}+t \right) \right|_{0}^{1}=\frac{{{1}^{3}}}{3}+1-\left( \frac{{{0}^{3}}}{3}+0 \right)=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}\]

Ответ S=\frac{4}{3}

2. Зависимость между работой и силой

Зависимость между работой A и силой F при перемещение материальной точки от значения {{x}_{1}} к значению {{x}_{2}} устанавливается соотношением:

    \[ A=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{F\left( x \right)dx}\]

ПРИМЕР 2
Задание Какую работу надо произвести, при перемещении материальной точки на промежутке от 1 до 2 метров под действием силы F\left( x \right)=x+3.
Решение Искомая работа равна:

    \[A=\int\limits_{1}^{2}{\left( x+3 \right)dx}=\left. \left( \frac{{{x}^{2}}}{2}+3x \right) \right|_{1}^{2}=\frac{{{2}^{2}}}{2}+3\cdot 2-\left( \frac{{{1}^{2}}}{2}+3\cdot 1 \right)=2+6-\frac{1}{2}-3=\frac{9}{2}\]

Ответ A=\frac{9}{2}

Работа A за промежуток времени от {{t}_{1}} до {{t}_{2}}, если задан закон изменения мощности N\left( t \right), вычисляется по формуле:

    \[ A=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{N\left( t \right)dt}\]

ПРИМЕР 3
Задание Вычислите работу A за промежуток времени \left[ 1;\ 4 \right], если мощность вычисляется по формуле

    \[ N\left( t \right)=\frac{6}{\sqrt{t}}\]

Решение Искомая работа

    \[A=\left. \int\limits_{1}^{4}{\frac{6dt}{\sqrt{t}}}=6\cdot 2\sqrt{t} \right|_{1}^{4}=12\cdot \left( \sqrt{4}-\sqrt{1} \right)=12\cdot \left( 2-1 \right)=12\]

Ответ A=12

3. Масса тонкого стержня

Масса m тонкого стержня, если известна его линейная плотность \rho \left( x \right) вычисляется по формуле:

    \[ m=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\rho \left( x \right)dx}\]

ПРИМЕР 4
Задание Вычислите массу участка стержня от значений {{x}_{1}}=0 до {{x}_{2}}=1, если его линейная плотность задается формулой \rho \left( x \right)={{x}^{2}}+1.
Решение Согласно формуле, имеем:

    \[m=\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)dx}=\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}+x \right) \right|_{0}^{1}=\frac{{{1}^{3}}}{3}+1-\left( \frac{{{0}^{3}}}{3}+3 \right)=\frac{4}{3}\]

Ответ m=\frac{4}{3}

4. Количество электричества (электрический заряд)

Количество электричества (электрический заряд) за промежуток времени \left[ {{t}_{1}};\ {{t}_{2}} \right] при известной силе тока I=I\left( t \right) вычисляется по формуле:

    \[ q=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{I\left( t \right)dt}\]

ПРИМЕР 5
Задание Вычислите количество электричества, протекшего по проводнику за промежуток времени \left[ 3;\ 4 \right], если сила тока задается формулой I\left( t \right)=3{{t}^{2}}-2t.
Решение Количество электричества

    \[q\left. =\int\limits_{3}^{4}{\left( 3{{t}^{2}}-2t \right)dt}=\left( {{t}^{3}}-{{t}^{2}} \right) \right|_{3}^{4}={{4}^{3}}-{{4}^{2}}-\left( {{3}^{3}}-{{3}^{2}} \right)=64-16-27+9=30\]

Ответ q=30

5. Количество теплоты за время

Если задана теплоемкость c\left( t \right), то количество теплоты за время t\in \left[ {{t}_{1}};\ {{t}_{2}} \right] вычисляется по формуле:

    \[ Q=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{c\left( t \right)dt}\]

ПРИМЕР 6
Задание Найти количество теплоты, выделенное за время t\in \left[ 1;\ 2 \right], если теплоемкость c\left( t \right)={{t}^{2}}.
Решение Согласно формуле, имеем:

    \[Q=\int\limits_{1}^{2}{{{t}^{2}}dt}=\left. \frac{{{t}^{3}}}{3} \right|_{1}^{2}=\frac{{{2}^{3}}-{{1}^{3}}}{3}=\frac{7}{3}\]

Ответ Q=\frac{7}{3}

6. Зависимость магнитного потока и ЭДС

Математическая зависимость между магнитным потоком \Phi, пронизывающим проводящий замкнутый контур, и электродвижущей силой (ЭДС) индукции {{\varepsilon }_{i}}\left( t \right) в этом контуре задается соотношением

    \[ \Phi =\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{{{\varepsilon }_{i}}\left( t \right)dt}\]

ПРИМЕР 7
Задание При вращении рамки в однородном магнитном поле возникает ЭДС индукции, изменяющаяся со временем по закону {{\varepsilon }_{i}}\left( t \right)=50\cos \frac{\pi t}{120} . Найти значение магнитного потока, пронизывающего рамку в конце первой минуты вращения.
Решение Время t в данном случае изменяется от 0 с. до 60 с. Тогда искомый электромагнитный поток

    \[\Phi =\int\limits_{0}^{60}{50\cos \frac{\pi t}{120}dt}=50\cdot \frac{120}{\pi }\sin \left. \frac{\pi t}{120} \right|_{0}^{60}=\frac{600}{\pi }\left( \sin \frac{\pi }{2}-\sin 0 \right)=\frac{600}{\pi }\]

Ответ \Phi =\frac{600}{\pi }

7. Площадь криволинейной трапеции

Площадь S криволинейной трапеции – фигура, ограниченная графиком непрерывной положительной на интервале \left[ a;\ b \right] функции y=f\left( x \right), осью абсцисс Ox и вертикальными прямыми x=a и x=b (рис. 1) – вычисляется по формуле:

    \[ S=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\]

ПРИМЕР 8
Задание Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=4x-{{x}^{2}}, x=0, x=4 и осью абсцисс.
Решение Изобразим фигуру, площадь которой надо найти (рис 2.). Тогда имеем:

    \[S=\int\limits_{0}^{4}{\left( 4x-{{x}^{2}} \right)dx}=\left. \left( 2{{x}^{2}}-\frac{{{x}^{3}}}{3} \right) \right|_{0}^{4}=\]

    \[=2\cdot {{4}^{2}}-\frac{{{4}^{3}}}{3}-\left( 2\cdot {{0}^{2}}-\frac{{{0}^{3}}}{3} \right)=32-\frac{64}{3}=\frac{32}{3}\]

Ответ S=\frac{32}{3} (кв. ед.).

8. Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, заданная уравнениемy=f\left( x \right),\ a\le x\le b (рис. 3).

Если функция y=f\left( x \right) и ее производная {y}'={f}'\left( x \right) непрерывны на отрезке \left[ a;\ b \right], то кривая AB имеет длину, которая вычисляется по формуле:

    \[ l=\int\limits_{a}^{b}{\sqrt{1+{{\left( {f}'\left( x \right) \right)}^{2}}}dx}\]

ПРИМЕР 9
Задание Найти длину окружности с центром в начале координат радиуса R, используя определенный интеграл.
Решение Уравнение рассматриваемой окружности {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{R}^{2}}, откуда y=\pm \sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}. Рассмотрим ту часть окружности, которая лежит в первой четверти (y\ge 0), тогда y=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}. Длина {{l}_{1}} этой четверти в четыре раза меньше всей искомой длины l:

    \[l=4{{l}_{1}}\]

Найдем подынтегральную функцию \sqrt{1+{{\left( {f}'\left( x \right) \right)}^{2}}}:

    \[y=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}\Rightarrow {y}'=\frac{-2x}{2\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}}=\frac{-x}{\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}}\]

    \[\sqrt{1+{{\left( {f}'\left( x \right) \right)}^{2}}}=\sqrt{1+{{\left( -\frac{x}{\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}} \right)}^{2}}}=\sqrt{1+\frac{{{x}^{2}}}{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}}=\sqrt{\frac{{{R}^{2}}}{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}}\]

В первой четверти переменная x изменяется от 0 до R. Тогда искомая длина

    \[l=4\int\limits_{0}^{R}{\frac{Rdx}{\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}}}=\left. 4R\cdot \arcsin \frac{x}{R} \right|_{0}^{R}=4R\cdot \left( \arcsin 1-\arcsin 0 \right)=4R\cdot \frac{\pi }{2}=2\pi R$\]

Ответ l=2\pi R

9. Вычисление объема тела вращения

Пусть вокруг оси Ox вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией y=f\left( x \right), прямыми x=a и x=b (рис. 4). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Объем этого тела равен

    \[ {{V}_{Ox}}=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{y}^{2}}dx}\]

Если криволинейная трапеция ограничена графиком не прерывной функции x=g\left( y \right) и прямыми y=c и y=d, то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, равен

    \[ {{V}_{Oy}}=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{x}^{2}}dy}\]

ПРИМЕР 10
Задание Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y=\frac{{{x}^{2}}}{2}, x=0 и y=2\sqrt{2} вокруг оси ординат.
Решение Изобразим указанное тело вращения (рис. 5). Тогда искомый объем

    \[{{V}_{Oy}}=\pi \int\limits_{0}^{2\sqrt{2}}{{{x}^{2}}dy}\ \left\| \begin{matrix} 				   y=\frac{{{x}^{2}}}{2}\Rightarrow  \\  				  {{x}^{2}}=2y \\  				\end{matrix} \right\|=\pi \left. \int\limits_{0}^{2\sqrt{2}}{2ydy}=\pi \cdot {{y}^{2}} \right|_{0}^{2\sqrt{2}}=\pi \cdot \left( {{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{0}^{2}} \right)=8\pi \]

Ответ {{V}_{Oy}}=8\pi (куб. ед.).

10. Вычисление площади поверхности вращения

Пусть кривая AB задана функцией y=f\left( x \right)\ge 0,\ x\in \left[ a;\ b \right], которая является непрерывной вместе со своей производной {y}'\left( x \right) на этом отрезке. Площадь S поверхности, образованной вращением кривой AB вокруг оси Ox (рис. 4) равна

    \[ {{S}_{Ox}}=2\pi \int\limits_{a}^{b}{y\sqrt{1+{{\left( {y}'\left( x \right) \right)}^{2}}}dx}\]

ПРИМЕР 11
Задание Найти площадь поверхности шара с центром в начале координат радиуса R.
Решение Будем считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности y=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}, -R\le x\le R вокруг оси абсцисс. Тогда по формуле находим, что искомая площадь

    \[{{S}_{Ox}}=2\pi \int\limits_{a}^{b}{\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}\sqrt{1+{{\left( {{\left( \sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }} \right)}^{2}}}dx}=2\pi \int\limits_{a}^{b}{\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}\sqrt{1+{{\left( \frac{-x}{\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}} \right)}^{2}}}dx}=\]

    \[=2\pi \int\limits_{a}^{b}{\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}+{{x}^{2}}}dx}=2\pi R\left. \int\limits_{a}^{b}{dx}=2\pi R\cdot x \right|_{-R}^{R}=2\pi R\left( R-\left( -R \right) \right)=4\pi {{R}^{2}}\]

Ответ {{S}_{Ox}}=4\pi {{R}^{2}} (кв. ед.).