Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Общий интеграл дифференциального уравнения

Определение и формула общего интеграла дифференциального уравнения

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

    \[F\left(x,\; y,\; y'\right)=0 \qquad (1)\]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Общим интегралом дифференциального уравнения (1) называется равенство

    \[\Phi \left(x,\; y,\; C\right)=0 \qquad (2)\]

Если продифференцировать равенство (2) по переменной x при условии, что y=y\left(x\right):

    \[\frac{\partial \Phi }{\partial x} +\frac{\partial \Phi }{\partial x} \cdot y'=0 \qquad (3)\]

и исключить постоянную C из уравнений (2), (3), то получим дифференциальное уравнение, эквивалентное уравнению (1).

В этом случае говорят, что уравнение (1) есть дифференциальным уравнением семейства функций (2), зависящих от параметра C.

Примеры решения задач

ПРИМЕР
Задание Показать, что функция y^{2} -x^{2} -Cy=0 является общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка y'\left(x^{2} +y^{2} \right)-2xy=0.
Доказательство Продифференцируем по переменной x заданную неявную функцию y^{2} -x^{2} -Cy=0 (при этом не забываем, что y есть функцией от x, то есть y=y\left(x\right)):

    \[\left(y^{2} -x^{2} -Cy\right)^{{'} } _{x} =0\]

    \[2yy'-2x-Cy'=0\Rightarrow \left(2y-C\right)y'=2x\]

откуда

    \[y'=\frac{2x}{2y-C} \]

Из равенства y^{2} -x^{2} -Cy=0 выражаем постоянную C:

    \[Cy=y^{2} -x^{2} \Rightarrow C=\frac{y^{2} -x^{2} }{y} \]

Тогда

    \[y'=\frac{2x}{2y-\frac{y^{2} -x^{2} }{y} } =\frac{2xy}{2y^{2} -y^{2} +x^{2} } =\frac{2xy}{x^{2} +y^{2} } \]

Подставляем полученную производную в заданное дифференциальное уравнение:

    \[\frac{2xy}{x^{2} +y^{2} } \cdot \left(x^{2} +y^{2} \right)-2xy=2xy-2xy\equiv 0\]

Таким образом, делаем вывод, что неявно заданная функция y=y\left(x\right): \quad y^{2} -x^{2} -Cy=0 является общим интегралом рассматриваемого дифференциального уравнения y'\left(x^{2} +y^{2} \right)-2xy=0.

Что и требовалось доказать.

Частным интегралом дифференциального уравнения (1) есть общий интеграл (2) этого уравнения при заданном (известном) значении постоянной C.

Например: Частным интегралом для дифференциального уравнения из прошлого примера есть функция

    \[y^{2} -x^{2} =0\]

полученная из общего интеграла этого уравнения для значения C=0.