Общий интеграл дифференциального уравнения
Определение и формула общего интеграла дифференциального уравнения
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка
Если продифференцировать равенство (2) по переменной x при условии, что :
и исключить постоянную C из уравнений (2), (3), то получим дифференциальное уравнение, эквивалентное уравнению (1).
В этом случае говорят, что уравнение (1) есть дифференциальным уравнением семейства функций (2), зависящих от параметра C.
Примеры решения задач
Задание | Показать, что функция является общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка . |
Доказательство |
Продифференцируем по переменной x заданную неявную функцию (при этом не забываем, что y есть функцией от x, то есть ):
откуда
Из равенства выражаем постоянную C:
Тогда
Подставляем полученную производную в заданное дифференциальное уравнение:
Таким образом, делаем вывод, что неявно заданная функция является общим интегралом рассматриваемого дифференциального уравнения . Что и требовалось доказать. |
Частным интегралом дифференциального уравнения (1) есть общий интеграл (2) этого уравнения при заданном (известном) значении постоянной C.
Например: Частным интегралом для дифференциального уравнения из прошлого примера есть функция
полученная из общего интеграла этого уравнения для значения .