Общий интеграл дифференциального уравнения

Определение и формула общего интеграла дифференциального уравнения

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

$F\left(x,\; y,\; y'\right)=0 \qquad (1)$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Общим интегралом дифференциального уравнения (1) называется равенство

$\Phi \left(x,\; y,\; C\right)=0 \qquad (2)$

Если продифференцировать равенство (2) по переменной x при условии, что $y=y\left(x\right)$ :

$\frac{\partial \Phi }{\partial x} +\frac{\partial \Phi }{\partial x} \cdot y'=0 \qquad (3)$

и исключить постоянную C из уравнений (2), (3), то получим дифференциальное уравнение, эквивалентное уравнению (1).

В этом случае говорят, что уравнение (1) есть дифференциальным уравнением семейства функций (2), зависящих от параметра C.

Примеры решения задач

ПРИМЕР

Задание

Показать, что функция $y^{2} -x^{2} -Cy=0$ является общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка $y'\left(x^{2} +y^{2} \right)-2xy=0$ .

Доказательство

Продифференцируем по переменной x заданную неявную функцию $y^{2} -x^{2} -Cy=0$ (при этом не забываем, что y есть функцией от x, то есть $y=y\left(x\right)$ ):

$\left(y^{2} -x^{2} -Cy\right)^{{'} } _{x} =0$

$2yy'-2x-Cy'=0\Rightarrow \left(2y-C\right)y'=2x$

откуда

$y'=\frac{2x}{2y-C}$

Из равенства $y^{2} -x^{2} -Cy=0$ выражаем постоянную C:

$Cy=y^{2} -x^{2} \Rightarrow C=\frac{y^{2} -x^{2} }{y}$

Тогда

$y'=\frac{2x}{2y-\frac{y^{2} -x^{2} }{y} } =\frac{2xy}{2y^{2} -y^{2} +x^{2} } =\frac{2xy}{x^{2} +y^{2} }$

Подставляем полученную производную в заданное дифференциальное уравнение:

$\frac{2xy}{x^{2} +y^{2} } \cdot \left(x^{2} +y^{2} \right)-2xy=2xy-2xy\equiv 0$

Таким образом, делаем вывод, что неявно заданная функция $y=y\left(x\right): \quad y^{2} -x^{2} -Cy=0$ является общим интегралом рассматриваемого дифференциального уравнения $y'\left(x^{2} +y^{2} \right)-2xy=0$ .

Что и требовалось доказать.

Частным интегралом дифференциального уравнения (1) есть общий интеграл (2) этого уравнения при заданном (известном) значении постоянной C.

Например: Частным интегралом для дифференциального уравнения из прошлого примера есть функция

$y^{2} -x^{2} =0$

полученная из общего интеграла этого уравнения для значения $C=0$ .

Понравился сайт? Расскажи друзьям!