Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Общее решение дифференциального уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дифференциальным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная функция стоит под знаком производной:

    \[f\left(x,\; y,\; y',...,\; y^{\left(n\right)} \right)=0 \qquad (1)\]

Например: y'=3x-2; \quad \left(x+1\right)y'=y-\sqrt{y}

Решением дифференциального уравнения (1) называется такая функция y=y\left(x\right), удовлетворяющая этому уравнению, то есть после подстановки этой функции в уравнение (1), она становится тождеством.

Например: Функция y\left(x\right)=\sin x+x является решением дифференциального уравнения y'=\cos x+1, поскольку

    \[y'=\cos x+1\Rightarrow \left(\sin x+x\right)^{{'} } =\cos x+1\Rightarrow \cos x+1=\cos x+1\]

То есть подстановка функции в уравнение привела его к верному равенству.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Общим решением дифференциального уравнения называется соотношение вида F\left(x;\; y;\; C\right)=0 или F\left(x;\; y\right)=C, которое содержит произвольную постоянную C.

Эти соотношения обладают следующим свойством: если решать их относительно y при любых конкретных значениях константы C, то в результате получим функцию вида y=y\left(x\right), которая является решением уравнения (1).