Общее решение дифференциального уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Дифференциальным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная функция стоит под знаком производной:

$f\left(x,\; y,\; y',...,\; y^{\left(n\right)} \right)=0 \qquad (1)$

Например: $y'=3x-2; \quad \left(x+1\right)y'=y-\sqrt{y}$

Решением дифференциального уравнения (1) называется такая функция $y=y\left(x\right)$ , удовлетворяющая этому уравнению, то есть после подстановки этой функции в уравнение (1), она становится тождеством.

Например: Функция $y\left(x\right)=\sin x+x$ является решением дифференциального уравнения $y'=\cos x+1$ , поскольку

$y'=\cos x+1\Rightarrow \left(\sin x+x\right)^{{'} } =\cos x+1\Rightarrow \cos x+1=\cos x+1$

То есть подстановка функции в уравнение привела его к верному равенству.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Общим решением дифференциального уравнения называется соотношение вида $F\left(x;\; y;\; C\right)=0$ или $F\left(x;\; y\right)=C$ , которое содержит произвольную постоянную C.

Эти соотношения обладают следующим свойством: если решать их относительно y при любых конкретных значениях константы C, то в результате получим функцию вида $y=y\left(x\right)$ , которая является решением уравнения (1).

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Общее решение дифференциального уравнения