Частное решение дифференциального уравнения

Определение и формулы частного решения ДУ

Пусть на некотором интервале $\left(a;\; b\right)$ задано дифференциальное уравнение

$F\left(x;\; y;\; y';\; y'';...;\; y^{\left(n\right)} \right)=0 \qquad (1)$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Частным решением этого дифференциального уравнения на указанном интервале называется каждая функция $y=y\left(x\right)$ , которая при подстановке в уравнение вида (1) обращает его в верное тождество на заданном интервале.

ПРИМЕР

Задание

Доказать, что функция $y=x$ является частным решением уравнения $y''=0$

Доказательство.

Подставим заданную функцию в рассматриваемое дифференциальное уравнение. Для этого вначале найдем ее вторую производную:

$y=x\Rightarrow y'=\left(x\right)^{{'} } =1\Rightarrow y''=\left(1\right)^{{'} } =0$

Итак, получаем, что

$0=0$

Что и требовалось доказать.

Теорема. Зная общее решение однородного дифференциального уравнения и любое частное решение неоднородного уравнения, можно получить общее решение неоднородного уравнения в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.

ЗАМЕЧАНИЕ

Приведенная теорема верна только лишь для линейных дифференциальных уравнений.

ПРИМЕР

Задание

Найти решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка $y''-5y'+6y=2e^{x}$

Решение

Рассмотрим вначале соответствующее однородное дифференциальное уравнение

$y''-5y'+6y=0$

и найдем его общее решение. Характеристическое уравнение

$k^{2} -5k+6=0\Rightarrow k_{1} =2,\; k_{2} =3$

То есть общее решение однородного уравнения

$y_{odn} \left(x\right)=C_{1} e^{k_{1} x} +C_{2} e^{k_{2} x} =C_{1} e^{2x} +C_{2} e^{3x}$

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения будем искать по виду правой части. Она (правая часть) представляет собой произведение константы 2 на экспоненту $e^{x} =e^{1\cdot x}$ , тогда, поскольку 1 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде: