Дифференциальные уравнения: основные понятия и определения

Понятие дифференциального уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Дифференциальным уравнением называется соотношение, которое связывает независимую переменную (чаще всего это переменная x), неизвестную функцию $y=y\left(x\right)$ и ее производные или дифференциалы ( $y',\; y'',...$ или $dy,\; dy^{2} ,...$ )

Например. $xy''+\sqrt{x} =2; \quad \left(x+y\right)dx-\left(x-y\right)dy=0$

Толчком к развитию теории дифференциальных уравнений послужили различного рода механические задачи, в которых находились координаты тел, их скорости и ускорения. Названные величины зависели от времени при различных воздействиях.

Основой теории дифференциальных уравнений стало дифференциальное исчисление, которое было предложено немецким философом, логиком, математиком, механиком, физиком, юристом, историком, дипломатом, изобретателем и языковедом Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646-1716) и английским физиком, математиком, механиком и астрономом сэром Исааком Ньютоном (1642-1727). Термин «дифференциальное уравнение» предложил Готфрид Лейбниц в 1676 г.

18 век стал вправе переломным для развития теории дифференциальных уравнений. Появилось огромное количество работ, среди которых особо выделялись труды швейцарского, немецкого и российского математика и механика Леонардо Эйлера (1707-1783) и французского математика, астронома и механика Жозефа Луи Лагранжа (1736-1813). В их работах получила свое развитие теория малых колебаний, которая основывалась на теории линейных систем дифференциальных уравнений. Методы теории возмущения были разработаны французским математиком, механиком, физиком и астрономом Пьером-Симоном, маркизом де Лапласом (1749-1827), Ж. Лагранжем и немецким математиком, механиком, физиком, астрономом и геодезистом Иоганном Карлом Фридрихом Гауссом (1777-1855).

Французский математик Жозеф Лиувиль (1809-1882) установил неразрешимость ряда дифференциальных уравнений в элементарных функциях и квадратурах. «Качественная теория дифференциальных уравнений» (или теория динамических систем), предложенная французским математиком, механиком, физиком, астрономом и философом Жюлем Анри Пуанкаре (1854-1912), стала новой вехой в развитии теории дифференциальных уравнений.

От истории развития дифференциальных уравнений вернемся к ее основным определениям и понятиям.

Если неизвестная функция, входящая в дифференциальное уравнение, зависит только от одной независимой переменной, то такое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Например. $y'\left(x\right)=x+2$ .

Порядок дифференциального уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Порядок дифференциального уравнения – это наивысший порядок производной или дифференциала, входящих в уравнение.

Например. Уравнение $y+xy''-3\underline{y'''}=2$ – дифференциальное уравнение третьего порядка, поскольку старший порядок производной, входящей в него, равен трем (данная производная подчеркнута).

Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид:

$f\left(x,\; y,\; y',...,\; y^{\left(n\right)} \right)=0 \qquad (1)$

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка – $f\left(x,\; y,\; y'\right)=0$ или, если оно разрешимо относительно производной, – $y'=f\left(x,\; y\right)$ .

Решение дифференциального уравнения

Решением или общим интегралом дифференциального уравнения называется функция $y=y\left(x\right)$ , удовлетворяющая указанному уравнению.

ЗАМЕЧАНИЕ

Чтобы убедится, что функция $y=y\left(x\right)$ удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению (то есть является его решением), необходимо подставить ее в уравнение и убедится, что оно обращается в тождество.

ПРИМЕР

Задание

Доказать, что функция $y\left(x\right)=x^{2} +3x+6$ является решением дифференциального уравнения $y'=2x+3$ .

Доказательство

Подставим функцию $y\left(x\right)=x^{2} +3x+6$ в заданное дифференциальное уравнение $y'=2x+3$ :

$\left(x^{2} +3x+6\right)^{{'} } =2x+3$

$\left(x^{2} \right)^{{'} } +\left(3x\right)^{{'} } +\left(6\right)^{{'} } =2x+3$

$2x+3+0=2x+3$

или

$2x+3=2x+3$

В результате получили тождество, а это означает, что функция $y\left(x\right)=x^{2} +3x+6$ является решением указанного дифференциального уравнения.

Что и требовалось доказать.

Кривая $y=y\left(x\right)$ , соответствующая решению дифференциального уравнения, называется интегральной кривой этого уравнения.

Общее и частное решение дифференциального уравнения

Общим решением дифференциального уравнения называется соотношение

$F\left(x,\; y,\; C\right)=0$

или

$F\left(x,\; y\right)=C \qquad (2)$

здесь C – произвольная постоянная или константа интегрирования. Это решение обладает следующим свойством: если разрешить выражение $F\left(x,\; y,\; C\right)=0$ (или $F\left(x,\; y\right)=C$ ) относительно y, то в результате получим функцию $y=y\left(x\right)$ , являющуюся решением рассматриваемого дифференциального уравнения.

Уравнения (2) задают семейство интегральных кривых дифференциального уравнения (1).

Частное решение дифференциального уравнения – это решение, полученное из общего решения вида (2) при некотором значении произвольной постоянной C.

Например. Для дифференциального уравнения $xy'=2$ функция $y\left(x\right)=2\ln x+C$ является общим решением, а при $C=0$ получаем частное решение $y\left(x\right)=2\ln x$ .

Произвольную постоянную C можно определить из начальных условий – это такие условия, при которых ищется решение $y=y\left(x\right)$ дифференциального уравнения, чтобы оно (решение) принимало значение $y_{0}$ при некотором заданном значении независимой переменной $x=x_{0}$ , то есть выполняется равенство

$y_{0} =y\left(x_{0} \right) \qquad (3)$

Если задано дифференциальное уравнение (1) с начальными условиями (3), то такая задача называется задачей Коши.

Например. $\sqrt{x-y} =y'-1,\; y\left(0\right)=2$ .

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Дифференциальные уравнения: основные понятия и определения

Понятие дифференциального уравнения

Порядок дифференциального уравнения

Решение дифференциального уравнения

Общее и частное решение дифференциального уравнения