Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Дифференциальные уравнения первого порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

    \[F\left(x;\; y;\; y'\right)=0 \qquad (1)\]

Нормальная и дифференциальная формы записи ДУ первого порядка

Дифференциальное уравнение вида (1) называется уравнением, записанным в нормальной форме, если оно разрешено относительно производной:

    \[y'=f\left(x;\; y\right)\]

или

    \[\frac{dy}{dx} =f\left(x;\; y\right)\]

Дифференциальной формой уравнение (1) называется следующее его представление:

    \[P\left(x;\; y\right)dx+Q\left(x;\; y\right)dy=0\]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция y=y\left(x\right) называется общим решением дифференциального уравнения (1), если при подстановке ее в указанное уравнение имеет место тождество F\left(x;\; y\left(x\right);\; y'\left(x\right)\right)\equiv 0.
ЗАМЕЧАНИЕ
Решение такого уравнения можно искать также в виде x=x\left(y\right).

Интегральной кривой дифференциального уравнения называется график решения дифференциального уравнения, то есть функции y=y\left(x\right).

В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет бесконечно много решений (в зависимости от значения произвольной постоянной C). Для выделения единственного решения, необходимо задать начальные (так называемые дополнительные) условия.

Задача отыскания решения y=y\left(x\right) обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (1), которое удовлетворяет начальному условию y\left(x_{0} \right)=y_{0}, называется задачей Коши.

Решение задачи Коши называется частным решением уравнения (1).

Примеры решения задач

ПРИМЕР
Задание Проверить, что функция y\left(x\right)=\frac{1}{x} +Cx\; \left(x\ne 0\right) является решением дифференциального уравнения первого порядка y'=\frac{y}{x} -\frac{2}{x^{2} }
Решение Подставим указанное решение в заданное дифференциальное уравнение:

    \[\left(\frac{1}{x} +Cx\right)^{{'} } =\frac{\frac{1}{x} +Cx}{x} -\frac{2}{x^{2} } \]

Находим производную и упрощаем выражение:

    \[-\frac{1}{x^{2} } +C=\frac{1+Cx^{2} }{x^{2} } -\frac{2}{x^{2} } \]

    \[\frac{-1+Cx^{2} }{x^{2} } =\frac{1+Cx^{2} -2}{x^{2} } \]

или

    \[\frac{Cx^{2} -1}{x^{2} } =\frac{Cx^{2} -1}{x^{2} } \]

Что и требовалось показать.

ПРИМЕР
Задание Найти решение задачи Коши y'=\frac{y}{x} при начальных условиях y\left(1\right)=1.
Решение Заданное дифференциальное уравнение первого порядка является уравнением с разделяющимися переменными, разделим их:

    \[y'=\frac{y}{x} \Rightarrow \frac{dy}{dx} =\frac{y}{x} \Rightarrow \frac{dy}{y} =\frac{dx}{x} \]

Общий интеграл уравнения

    \[\int \frac{dy}{y} =\int \frac{dx}{x} \]

Тогда

    \[\ln \left|y\right|=\ln \left|x\right|+\ln \left|C\right|\]

или

    \[\ln \left|y\right|=\ln \left|Cx\right|\]

Потенцируя обе части равенства, окончательно будем иметь

    \[y=Cx\]

Значение константы интегрирования C найдем из начального условия y\left(1\right)=1:

    \[y\left(1\right)=C\cdot 1=1\Rightarrow C=1\]

Таким образом, частное решение

    \[y=x\]

Ответ y=x