Дифференциальные уравнения первого порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

$F\left(x;\; y;\; y'\right)=0 \qquad (1)$

Нормальная и дифференциальная формы записи ДУ первого порядка

Дифференциальное уравнение вида (1) называется уравнением, записанным в нормальной форме, если оно разрешено относительно производной:

$y'=f\left(x;\; y\right)$

или

$\frac{dy}{dx} =f\left(x;\; y\right)$

Дифференциальной формой уравнение (1) называется следующее его представление:

$P\left(x;\; y\right)dx+Q\left(x;\; y\right)dy=0$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция $y=y\left(x\right)$ называется общим решением дифференциального уравнения (1), если при подстановке ее в указанное уравнение имеет место тождество $F\left(x;\; y\left(x\right);\; y'\left(x\right)\right)\equiv 0$ .

ЗАМЕЧАНИЕ

Решение такого уравнения можно искать также в виде $x=x\left(y\right)$ .

Интегральной кривой дифференциального уравнения называется график решения дифференциального уравнения, то есть функции $y=y\left(x\right)$ .

В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет бесконечно много решений (в зависимости от значения произвольной постоянной C). Для выделения единственного решения, необходимо задать начальные (так называемые дополнительные) условия.

Задача отыскания решения $y=y\left(x\right)$ обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (1), которое удовлетворяет начальному условию $y\left(x_{0} \right)=y_{0}$ , называется задачей Коши.

Решение задачи Коши называется частным решением уравнения (1).

Примеры решения задач

ПРИМЕР

Задание

Проверить, что функция $y\left(x\right)=\frac{1}{x} +Cx\; \left(x\ne 0\right)$ является решением дифференциального уравнения первого порядка $y'=\frac{y}{x} -\frac{2}{x^{2} }$