Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Определение и формулы линейных ДУ с постоянными коэффициентами

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами называется обыкновенное дифференциальное уравнение следующего вида:

    \[a_{n} y^{\left(n\right)} +a_{n-1} y^{\left(n-1\right)} +...+a_{1} y'+a_{0} y=f\left(x\right) \qquad (1)\]

Если функция f\left(x\right)\equiv 0, то уравнение (1) называется однородным:

    \[a_{n} y^{\left(n\right)} +a_{n-1} y^{\left(n-1\right)} +...+a_{1} y'+a_{0} y=0 \qquad (2)\]

Решение линейных ДУ с постоянными коэффициентами

Характеристическим уравнением, соответствующим однородному уравнению (2), называется уравнение

    \[a_{n} k^{n} +a_{n-1} k^{n-1} +...+a_{1} k+a_{0} =0 \qquad (3)\]

Пусть k_{1} ,\; k_{2} ,...,\; k_{r} – различные корни характеристического многочлена (3) кратностей m_{1} ,\; m_{2} ,...,\; m_{r} соответственно, то есть m_{1} +m_{2} +...+m_{r} =n. Тогда функции

    \[x^{t} e^{k_{j} x} ,\; 1\le j\le r,\; 0\le t\le m_{j} -1\]

являются линейно независимыми решениями однородного уравнения (2) и образуют фундаментальную систему решений. Общее решение этого уравнения является линейной комбинацией фундаментальной системы решений.

Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

    \[a_{2} y''+a_{1} y'+a_{0} y=0 \qquad (4)\]

Пусть k_{1} ,\; k_{2} – корни его характеристического уравнения

    \[a_{2} k^{2} +a_{1} k+a_{0} =0 \qquad (5)\]

Решение этого уравнения зависит от значения дискриминанта

    \[D=a_{1}^{2} -4a_{2} a_{0} \]

Если D>0, то уравнение имеет два различных действительных корня

    \[k_{1,\, 2} =\frac{-a_{1} \pm \sqrt{D} }{2a_{2} } \]

Тогда решение дифференциального уравнения (4)

    \[y\left(x\right)=C_{1} e^{k_{1} x} +C_{2} e^{k_{2} x} \]

Если D=0, то характеристическое уравнение (5) имеет два совпадающих действительных корня

    \[k_{1} =k_{2} =k=-\frac{a_{1} }{2a_{2} } \]

и тогда общее решение

    \[y\left(x\right)=\left(C_{1} +C_{2} x\right)e^{kx} \]

В случае, когда D<0, решением квадратного уравнения (5) есть два комплексно сопряженных корня

    \[k_{1,\, 2} =\alpha \pm \beta i=\frac{-a_{1} }{2a_{2} } \pm \frac{\sqrt{\left|D\right|} }{2a_{2} } i\]

И общее решение имеет вид:

    \[y\left(x\right)=e^{\alpha x} \left(C_{1} \cos \beta x+C_{2} \sin \beta x\right)\]

ПРИМЕР
Задание Найти решение однородного дифференциального уравнения второго порядка y''-3y'-4=0
Решение Составляем характеристическое уравнение:

    \[k^{2} -3k-4=0\]

Находим дискриминант полученного квадратного уравнения:

    \[D=\left(-3\right)^{2} -4\cdot 1\cdot \left(-4\right)=9+16=25=5^{2} >0\]

Поскольку дискриминант положителен, то уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

    \[k_{1} ,\, _{2} =\frac{3\pm 5}{2\cdot 1} =\left[\begin{array}{l} {4,} \\ {-1.} \end{array}\right. \]

Тогда искомое решение

    \[y\left(x\right)=C_{1} e^{k_{1} x} +C_{2} e^{k_{2} x} =C_{1} e^{4\cdot x} +C_{2} e^{-1\cdot x} =C_{1} e^{4x} +C_{2} e^{-x} \]

Ответ y\left(x\right)=C_{1} e^{4x} +C_{2} e^{-x}
ТЕОРЕМА
Если известно частное решение y_{chastn} \left(x\right) неоднородного уравнения (1) и y_{1} \left(x\right),\; y_{2} \left(x\right),...,\; y_{n} \left(x\right) – это фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения (2), то общее решение уравнения (1) задается формулой

    \[y\left(x\right)=y_{odn} \left(x\right)+y_{chastn} \left(x\right)=C_{1} y_{1} \left(x\right)+C_{2} y_{2} \left(x\right)+...+C_{n} y_{n} \left(x\right)+y_{chastn} \left(x\right)\]

где C_{1} ,\; C_{2} ,...,\; C_{n} – произвольные постоянные.

Принцип суперпозиции

Принцип суперпозиции. Если функция в правой части неоднородного уравнения (1) состоит из суммы, например, двух функций

    \[f\left(x\right)=f_{1} \left(x\right)+f_{2} \left(x\right)\]

то и частное решение этого уравнения также состоит из суммы двух функций

    \[y_{chastn} \left(x\right)=y_{chastn\, 1} \left(x\right)+y_{chastn\, 2} \left(x\right)\]

где y_{chastn\, 1} \left(x\right),\; y_{chastn\, 2} \left(x\right) являются решениями неоднородного уравнения с правыми частями f_{1} \left(x\right) и f_{2} \left(x\right) соответственно.

В случае, когда правая часть f\left(x\right) является квазимногочленом, то есть имеет вид

    \[f\left(x\right)=e^{\alpha x} \left(P_{m} \left(x\right)\cos \beta x+Q_{n} \left(x\right)\sin \beta x\right)\]

где P_{m} \left(x\right),\; Q_{n} \left(x\right) – заданные многочлены, частное решение уравнения ищется в виде

    \[y_{chastn} \left(x\right)=e^{\alpha x} \left(M_{k} \left(x\right)\cos \beta x+N_{k} \left(x\right)\cos \beta x\right)\cdot x^{s} \]

где M_{k} \left(x\right),\; N_{k} \left(x\right) – многочлены степени k=\max \left\{m,\; n\right\} с неизвестными коэффициентами, которые находятся подстановкой y_{chastn} \left(x\right) в заданное дифференциальное уравнение и применением метода неопределенных коэффициентов; s – кратностью комплексного числа k=\alpha \pm \beta i как корня характеристического уравнения однородного уравнения (2).

В частности, когда правая часть уравнения (1)

    \[f\left(t\right)=P_{n} \left(x\right)e^{ax} \]

то частное решение уравнения ищется в виде

    \[y_{chastn} \left(x\right)=Q_{n} \left(x\right)e^{ax} \cdot x^{s} \]

Здесь Q_{n} \left(x\right) – многочлен той же самой степени, что и заданный многочлен P_{n} \left(x\right) с неопределенными коэффициентами, s – кратность a как корня характеристического уравнения (3) однородного уравнения (2).

ПРИМЕР
Задание Записать вид частного решения некоторого неоднородного дифференциального уравнения, если его правая часть f\left(x\right)=xe^{3x}, а число a=3 есть корнем кратности 4 характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения.
Решение Поскольку правая часть представляет собой по структуре произведение экспоненты на многочлен первой степени, то частное решение будем искать в таком же виде. То есть

    \[y_{chastn} \left(x\right)=\left(Ax+B\right)e^{ax} \cdot x^{4} \]

В данном случае s=4, поскольку значение a=3 – корень кратности 4 характеристического уравнения.

Ответ y_{chastn} \left(x\right)=\left(Ax+B\right)e^{ax} \cdot x^{4}
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.