Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Определение и формулы линейных ДУ с постоянными коэффициентами
Если функция , то уравнение (1) называется однородным:
Решение линейных ДУ с постоянными коэффициентами
Характеристическим уравнением, соответствующим однородному уравнению (2), называется уравнение
Пусть – различные корни характеристического многочлена (3) кратностей соответственно, то есть . Тогда функции
являются линейно независимыми решениями однородного уравнения (2) и образуют фундаментальную систему решений. Общее решение этого уравнения является линейной комбинацией фундаментальной системы решений.
Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение второго порядка:
Пусть – корни его характеристического уравнения
Решение этого уравнения зависит от значения дискриминанта
Если , то уравнение имеет два различных действительных корня
Тогда решение дифференциального уравнения (4)
Если , то характеристическое уравнение (5) имеет два совпадающих действительных корня
и тогда общее решение
В случае, когда , решением квадратного уравнения (5) есть два комплексно сопряженных корня
И общее решение имеет вид:
Задание | Найти решение однородного дифференциального уравнения второго порядка |
Решение | Составляем характеристическое уравнение:
Находим дискриминант полученного квадратного уравнения:
Поскольку дискриминант положителен, то уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:
Тогда искомое решение
|
Ответ |
где – произвольные постоянные.
Принцип суперпозиции
Принцип суперпозиции. Если функция в правой части неоднородного уравнения (1) состоит из суммы, например, двух функций
то и частное решение этого уравнения также состоит из суммы двух функций
где являются решениями неоднородного уравнения с правыми частями и соответственно.
В случае, когда правая часть является квазимногочленом, то есть имеет вид
где – заданные многочлены, частное решение уравнения ищется в виде
где – многочлены степени с неизвестными коэффициентами, которые находятся подстановкой в заданное дифференциальное уравнение и применением метода неопределенных коэффициентов; s – кратностью комплексного числа как корня характеристического уравнения однородного уравнения (2).
В частности, когда правая часть уравнения (1)
то частное решение уравнения ищется в виде
Здесь – многочлен той же самой степени, что и заданный многочлен с неопределенными коэффициентами, s – кратность a как корня характеристического уравнения (3) однородного уравнения (2).
Задание | Записать вид частного решения некоторого неоднородного дифференциального уравнения, если его правая часть , а число есть корнем кратности 4 характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения. |
Решение | Поскольку правая часть представляет собой по структуре произведение экспоненты на многочлен первой степени, то частное решение будем искать в таком же виде. То есть
В данном случае , поскольку значение – корень кратности 4 характеристического уравнения. |
Ответ |