Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Определение и формулы линейных ДУ с постоянными коэффициентами

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами называется обыкновенное дифференциальное уравнение следующего вида:

$a_{n} y^{\left(n\right)} +a_{n-1} y^{\left(n-1\right)} +...+a_{1} y'+a_{0} y=f\left(x\right) \qquad (1)$

Если функция $f\left(x\right)\equiv 0$ , то уравнение (1) называется однородным:

$a_{n} y^{\left(n\right)} +a_{n-1} y^{\left(n-1\right)} +...+a_{1} y'+a_{0} y=0 \qquad (2)$

Решение линейных ДУ с постоянными коэффициентами

Характеристическим уравнением, соответствующим однородному уравнению (2), называется уравнение

$a_{n} k^{n} +a_{n-1} k^{n-1} +...+a_{1} k+a_{0} =0 \qquad (3)$

Пусть $k_{1} ,\; k_{2} ,...,\; k_{r}$ – различные корни характеристического многочлена (3) кратностей $m_{1} ,\; m_{2} ,...,\; m_{r}$ соответственно, то есть $m_{1} +m_{2} +...+m_{r} =n$ . Тогда функции

$x^{t} e^{k_{j} x} ,\; 1\le j\le r,\; 0\le t\le m_{j} -1$

являются линейно независимыми решениями однородного уравнения (2) и образуют фундаментальную систему решений. Общее решение этого уравнения является линейной комбинацией фундаментальной системы решений.

Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

$a_{2} y''+a_{1} y'+a_{0} y=0 \qquad (4)$

Пусть $k_{1} ,\; k_{2}$ – корни его характеристического уравнения

$a_{2} k^{2} +a_{1} k+a_{0} =0 \qquad (5)$

Решение этого уравнения зависит от значения дискриминанта

$D=a_{1}^{2} -4a_{2} a_{0}$

Если $D>0$ , то уравнение имеет два различных действительных корня

$k_{1,\, 2} =\frac{-a_{1} \pm \sqrt{D} }{2a_{2} }$

Тогда решение дифференциального уравнения (4)

$y\left(x\right)=C_{1} e^{k_{1} x} +C_{2} e^{k_{2} x}$

Если $D=0$ , то характеристическое уравнение (5) имеет два совпадающих действительных корня

$k_{1} =k_{2} =k=-\frac{a_{1} }{2a_{2} }$

и тогда общее решение

$y\left(x\right)=\left(C_{1} +C_{2} x\right)e^{kx}$

В случае, когда $D<0$ , решением квадратного уравнения (5) есть два комплексно сопряженных корня

$k_{1,\, 2} =\alpha \pm \beta i=\frac{-a_{1} }{2a_{2} } \pm \frac{\sqrt{\left|D\right|} }{2a_{2} } i$

И общее решение имеет вид:

$y\left(x\right)=e^{\alpha x} \left(C_{1} \cos \beta x+C_{2} \sin \beta x\right)$

ПРИМЕР

Задание

Найти решение однородного дифференциального уравнения второго порядка $y''-3y'-4=0$

Решение

Составляем характеристическое уравнение:

$k^{2} -3k-4=0$

Находим дискриминант полученного квадратного уравнения:

$D=\left(-3\right)^{2} -4\cdot 1\cdot \left(-4\right)=9+16=25=5^{2} >0$

Поскольку дискриминант положителен, то уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$k_{1} ,\, _{2} =\frac{3\pm 5}{2\cdot 1} =\left[\begin{array}{l} {4,} \\ {-1.} \end{array}\right.$

Тогда искомое решение

$y\left(x\right)=C_{1} e^{k_{1} x} +C_{2} e^{k_{2} x} =C_{1} e^{4\cdot x} +C_{2} e^{-1\cdot x} =C_{1} e^{4x} +C_{2} e^{-x}$

Ответ

$y\left(x\right)=C_{1} e^{4x} +C_{2} e^{-x}$

ТЕОРЕМА

Если известно частное решение $y_{chastn} \left(x\right)$ неоднородного уравнения (1) и $y_{1} \left(x\right),\; y_{2} \left(x\right),...,\; y_{n} \left(x\right)$ – это фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения (2), то общее решение уравнения (1) задается формулой

$y\left(x\right)=y_{odn} \left(x\right)+y_{chastn} \left(x\right)=C_{1} y_{1} \left(x\right)+C_{2} y_{2} \left(x\right)+...+C_{n} y_{n} \left(x\right)+y_{chastn} \left(x\right)$

где $C_{1} ,\; C_{2} ,...,\; C_{n}$ – произвольные постоянные.

Принцип суперпозиции

Принцип суперпозиции. Если функция в правой части неоднородного уравнения (1) состоит из суммы, например, двух функций

$f\left(x\right)=f_{1} \left(x\right)+f_{2} \left(x\right)$

то и частное решение этого уравнения также состоит из суммы двух функций

$y_{chastn} \left(x\right)=y_{chastn\, 1} \left(x\right)+y_{chastn\, 2} \left(x\right)$

где $y_{chastn\, 1} \left(x\right),\; y_{chastn\, 2} \left(x\right)$ являются решениями неоднородного уравнения с правыми частями $f_{1} \left(x\right)$ и $f_{2} \left(x\right)$ соответственно.

В случае, когда правая часть $f\left(x\right)$ является квазимногочленом, то есть имеет вид

$f\left(x\right)=e^{\alpha x} \left(P_{m} \left(x\right)\cos \beta x+Q_{n} \left(x\right)\sin \beta x\right)$

где $P_{m} \left(x\right),\; Q_{n} \left(x\right)$ – заданные многочлены, частное решение уравнения ищется в виде

$y_{chastn} \left(x\right)=e^{\alpha x} \left(M_{k} \left(x\right)\cos \beta x+N_{k} \left(x\right)\cos \beta x\right)\cdot x^{s}$

где $M_{k} \left(x\right),\; N_{k} \left(x\right)$ – многочлены степени $k=\max \left\{m,\; n\right\}$ с неизвестными коэффициентами, которые находятся подстановкой $y_{chastn} \left(x\right)$ в заданное дифференциальное уравнение и применением метода неопределенных коэффициентов; s – кратностью комплексного числа $k=\alpha \pm \beta i$ как корня характеристического уравнения однородного уравнения (2).

В частности, когда правая часть уравнения (1)

$f\left(t\right)=P_{n} \left(x\right)e^{ax}$

то частное решение уравнения ищется в виде

$y_{chastn} \left(x\right)=Q_{n} \left(x\right)e^{ax} \cdot x^{s}$

Здесь $Q_{n} \left(x\right)$ – многочлен той же самой степени, что и заданный многочлен $P_{n} \left(x\right)$ с неопределенными коэффициентами, s – кратность a как корня характеристического уравнения (3) однородного уравнения (2).

ПРИМЕР

Задание

Записать вид частного решения некоторого неоднородного дифференциального уравнения, если его правая часть $f\left(x\right)=xe^{3x}$ , а число $a=3$ есть корнем кратности 4 характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения.

Решение

Поскольку правая часть представляет собой по структуре произведение экспоненты на многочлен первой степени, то частное решение будем искать в таком же виде. То есть

$y_{chastn} \left(x\right)=\left(Ax+B\right)e^{ax} \cdot x^{4}$

В данном случае $s=4$ , поскольку значение $a=3$ – корень кратности 4 характеристического уравнения.