Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Неоднородные дифференциальные уравнения

Определение и формулы неоднородных дифференциальных уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Неоднородное дифференциальное уравнение – это дифференциальное уравнение, правая часть которого тождественно не равна нулю:

    \[F\left(x,\; y,\; y',...,\; y^{\left(n\right)} \right)=f\left(x\right)\]

Например: y''-xy=3x^{2}

Решение неоднородных дифференциальных уравнений

Если неоднородное уравнение является линейным

    \[y^{\left(n\right)} +a_{n-1} y^{\left(n-1\right)} +a_{n-2} y^{\left(n-2\right)} +...+a_{1} y'+a_{0} y=f\left(x\right)\]

то алгоритм нахождения его решения следующий:

1) решается соответствующее однородное дифференциальное уравнение

    \[y^{\left(n\right)} +a_{n-1} y^{\left(n-1\right)} +a_{n-2} y^{\left(n-2\right)} +...+a_{1} y'+a_{0} y=0\]

Для этого записывается характеристическое уравнение

    \[k^{n} +a_{n-1} k^{n-1} +a_{n-2} k^{-2} +...+a_{1} k+a_{0} =0\]

и находятся его корни. По виду корней характеристического уравнения записывается общее решение этого однородного дифференциального уравнения

По виду правой части неоднородного дифференциального уравнения подбирается его частное решение, так называемая «вынужденная» составляющая решения исходного неоднородного дифференциального уравнения

Записывается полное решение неоднородного дифференциального уравнения как сумма общего решения однородного дифференциального уравнения и вынужденной составляющей решения неоднородного дифференциального уравнения с неизвестными постоянными интегрирования. Если требуется, из начальных условий определяются постоянные интегрирования.

ПРИМЕР
Задание Записать характеристическое уравнение, соответствующего однородного уравнения, если неоднородное дифференциальное уравнение y'''-5y''+6y=17-x
Решение Запишем соответственное однородное уравнение (обнулим правую часть исходного уравнения):

    \[y'''-5y''+6y=0\]

Тогда искомое характеристическое уравнение

    \[k^{3} -5k^{2} +6=0\]

Ответ k^{3} -5k^{2} +6=0