Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Линейные дифференциальные уравнения

Определение и формулы линейных дифференциальных уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дифференциальное уравнение вида

    \[y'+f\left(x\right)y=g\left(x\right) \qquad (1)\]

где f\left(x\right),\; g\left(x\right) — непрерывные функции переменной x, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Например: y'+\frac{y}{x} =2

Далее рассмотрим два метода решения указанных уравнений: с использованием интегрирующего множителя и метод вариации постоянной.

Метод с использованием интегрирующего множителя

Для линейного дифференциального уравнения (1) интегрирующий множитель определяется формулой:

    \[u\left(x\right)=e^{\int f\left(x\right)dx } \]

Умножение левой части этого уравнения на интегрирующий множитель u\left(x\right) преобразует ее в производную произведения функций y\left(x\right)u\left(x\right). Тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

    \[y\left(x\right)=\int u\left(x\right)g\left(x\right)dx +Cu\left(x\right)\]

Метод вариации постоянной

Сначала находим общее решение однородного дифференциального уравнения

    \[y'+f\left(x\right)y=0\]

Общее решение этого уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее заменяем константу C на некоторую функцию C\left(x\right), которую необходимо найти. Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение (1), определяем функцию C\left(x\right).

Примеры решения задач

ПРИМЕР
Задание Решить уравнение y'-y=xe^{x}
Решение Найдем решение заданного уравнения с помощью интегрируемого множителя. Для заданного уравнения f\left(x\right)=-1,\; g\left(x\right)=xe^{x}. Тогда

    \[u\left(x\right)=e^{\int \left(-1\right)dx } =e^{-\int dx } =e^{-x} \]

А тогда искомое решение

    \[y\left(x\right)=\int e^{-x} \cdot xe^{x} dx +Ce^{-x} =\int xdx +Ce^{-x} =\frac{x^{2} }{2} +Ce^{-x} \]

Ответ y\left(x\right)=\frac{x^{2} }{2} +Ce^{-x}
ПРИМЕР
Задание Решить дифференциальное уравнение xy'=y+2x^{3}
Решение Решение данной задачи будем искать методом вариации постоянной.

Приведем заданное уравнение к стандартному виду:

    \[xy'-y=2x^{3} \Rightarrow {\rm \; }y'-\frac{y}{x} =2x^{2} \]

Сначала найдем общее решение однородного уравнения

    \[y'-\frac{y}{x} =0\]

Оно является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Поэтому разделяем их:

    \[\frac{dy}{dx} =\frac{y}{x} \Rightarrow \frac{dy}{y} =\frac{dx}{x} \]

Общий интеграл уравнения

    \[\int \frac{dy}{y} =\int \frac{dx}{x} \Rightarrow \ln \left|y\right|=\ln \left|x\right|+\ln \left|C\right|=\ln \left|Cx\right|\Rightarrow y=Cx\]

Найдем теперь решение исходного неоднородного дифференциального уравнения. Для этого варьируем константу интегрирования C, считаем, что она есть функцией переменной x, то есть C=C\left(x\right). Тогда решение исходного неоднородного уравнения принимает вид y\left(x\right)=C\left(x\right)x. Откуда

    \[y'\left(x\right)=C'\left(x\right)x+C\left(x\right)\]

Поскольку функция y\left(x\right) является решением, то она должа удовлетворять заданное уравнение, тогда

    \[y'-\frac{y}{x} =2x^{2} \Rightarrow C'x+C-\frac{Cx}{x} =2x^{2} \]

После упрощения получаем:

    \[C'x+C-C=2x^{2} \Rightarrow C'x=2x^{2} \Rightarrow C'=2x\]

То есть

    \[C\left(x\right)=\int 2xdx =x^{2} +C_{1} \]

Таким образом, общее решение заданного уравнения

    \[y\left(x\right)=\left(x^{2} +C_{1} \right)\; x\]

Ответ y\left(x\right)=\left(x^{2} +C_{1} \right)\; x