Линейные дифференциальные уравнения

Определение и формулы линейных дифференциальных уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Дифференциальное уравнение вида

$y'+f\left(x\right)y=g\left(x\right) \qquad (1)$

где $f\left(x\right),\; g\left(x\right)$ — непрерывные функции переменной x, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Например: $y'+\frac{y}{x} =2$

Далее рассмотрим два метода решения указанных уравнений: с использованием интегрирующего множителя и метод вариации постоянной.

Метод с использованием интегрирующего множителя

Для линейного дифференциального уравнения (1) интегрирующий множитель определяется формулой:

$u\left(x\right)=e^{\int f\left(x\right)dx }$

Умножение левой части этого уравнения на интегрирующий множитель $u\left(x\right)$ преобразует ее в производную произведения функций $y\left(x\right)u\left(x\right)$ . Тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

$y\left(x\right)=\int u\left(x\right)g\left(x\right)dx +Cu\left(x\right)$

Метод вариации постоянной

Сначала находим общее решение однородного дифференциального уравнения

$y'+f\left(x\right)y=0$

Общее решение этого уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее заменяем константу C на некоторую функцию $C\left(x\right)$ , которую необходимо найти. Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение (1), определяем функцию $C\left(x\right)$ .

Примеры решения задач

ПРИМЕР

Задание

Решить уравнение $y'-y=xe^{x}$

Решение

Найдем решение заданного уравнения с помощью интегрируемого множителя. Для заданного уравнения $f\left(x\right)=-1,\; g\left(x\right)=xe^{x}$ . Тогда

$u\left(x\right)=e^{\int \left(-1\right)dx } =e^{-\int dx } =e^{-x}$

А тогда искомое решение

$y\left(x\right)=\int e^{-x} \cdot xe^{x} dx +Ce^{-x} =\int xdx +Ce^{-x} =\frac{x^{2} }{2} +Ce^{-x}$

Ответ

$y\left(x\right)=\frac{x^{2} }{2} +Ce^{-x}$

ПРИМЕР

Задание

Решить дифференциальное уравнение $xy'=y+2x^{3}$

Решение

Решение данной задачи будем искать методом вариации постоянной.

Приведем заданное уравнение к стандартному виду:

$xy'-y=2x^{3} \Rightarrow {\rm \; }y'-\frac{y}{x} =2x^{2}$

Сначала найдем общее решение однородного уравнения

$y'-\frac{y}{x} =0$

Оно является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Поэтому разделяем их:

$\frac{dy}{dx} =\frac{y}{x} \Rightarrow \frac{dy}{y} =\frac{dx}{x}$

Общий интеграл уравнения

$\int \frac{dy}{y} =\int \frac{dx}{x} \Rightarrow \ln \left|y\right|=\ln \left|x\right|+\ln \left|C\right|=\ln \left|Cx\right|\Rightarrow y=Cx$

Найдем теперь решение исходного неоднородного дифференциального уравнения. Для этого варьируем константу интегрирования C, считаем, что она есть функцией переменной x, то есть $C=C\left(x\right)$ . Тогда решение исходного неоднородного уравнения принимает вид $y\left(x\right)=C\left(x\right)x$ . Откуда