Дифференциальное уравнение Эйлера

Определение и формула дифференциального уравнения Эйлера

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Дифференциальным уравнением Эйлера называется уравнение вида

$a_{0} x^{n} y^{\left(n\right)} +a_{1} x^{n-1} y^{\left(n-1\right)} +...+a_{n-1} xy'+a_{n} y=f\left(x\right) \qquad (1)$

В более общем виде уравнение Эйлера имеет вид:

$a_{0} \left(Ax+B\right)^{n} y^{\left(n\right)} +a_{1} \left(Ax+B\right)^{n-1} y^{\left(n-1\right)} +...+a_{n-1} \left(Ax+B\right)y'+a_{n} y=f\left(x\right)$

Но его подстановкой $z=Ax+B$ можно привести к виду (1).

Уравнение Эйлера (1) сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой

$x=e^{t}$

ЗАМЕЧАНИЕ

Если уравнение (1) однородное (то есть $f\left(x\right)=0$ ), то делается замена

$y=x^{k}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР

Задание

Найти решение уравнения $x^{2} y''-4xy'+6y=0$

Решение

Поскольку уравнение однородное, то согласно замечанию, сделаем замену

$y=x^{k}$

Тогда подставляем это выражение в уравнение:

$x^{2} \cdot \left(x^{k} \right)^{{''} } -4x\cdot \left(x^{k} \right)^{{'} } +6\cdot x^{k} =0$

$x^{2} \cdot k\left(x^{k-1} \right)^{{'} } -4x\cdot kx^{k-1} +6x^{k} =0$

$x^{2} \cdot k\left(k-1\right)x^{k-2} -4kx^{k} +6x^{k} =0$

$k\left(k-1\right)x^{k} -4kx^{k} +6x^{k} =0\Rightarrow x^{k} \left(k^{2} -5k+6\right)=0\Rightarrow k^{2} -5k+6=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l} {k_{1} =2,} \\ {k_{2} =3.} \end{array}\right.$

Искомое решение

$y\left(x\right)=C_{1} x^{k_{1} } +C_{2} x^{k_{2} } =C_{1} x^{2} +C_{2} x^{3}$

Ответ

$y\left(x\right)=C_{1} x^{2} +C_{2} x^{3}$

ПРИМЕР

Задание

Найти решение дифференциального уравнение Эйлера

$\left(x-2\right)^{2} y''-3\left(x-2\right)y'+4y=x$

Решение

Поскольку уравнение неоднородное, то сделаем замену

$x-2=e^{t} \Rightarrow x=e^{t} +2$

откуда $dx=e^{t} dt$ . Тогда

$y'_{x} =\frac{dy}{dx} =\frac{dy}{e^{t} dt} =\frac{dy}{dt} \cdot \frac{1}{e^{t} } =y'_{t} \cdot \frac{1}{e^{t} }$

$y''_{x} =\left(y'_{t} \cdot \frac{1}{e^{t} } \right)^{{'} } =y''_{tt} \cdot \frac{1}{e^{2t} } -y'_{t} \cdot \frac{1}{e^{2t} }$

Подставляем полученные выражения в заданное дифференциальное уравнение:

$\left(e^{t} \right)^{2} \cdot \left(y''_{tt} \cdot \frac{1}{e^{2t} } -y'_{t} \cdot \frac{1}{e^{2t} } \right)-3\cdot e^{t} \cdot y'_{t} \cdot \frac{1}{e^{2t} } +4y=e^{t} +2$

После упрощения будем иметь:

$y''-4y'+4y=e^{t} +2$

Получили неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения рассмотрим соответствующее однородное уравнение

$y''-4y'+4y=0$

Его характеристическое

$k^{2} -4k+4=0\Rightarrow \left(k-2\right)^{2} =0\Rightarrow k_{1,\, 2} =2$

То есть

$y_{odn} \left(t\right)=\left(C_{1} +C_{2} t\right)e^{2t}$

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде:

$y_{chastn} \left(t\right)=y_{chastn\, 1} \left(t\right)+y_{chastn\, 2} \left(t\right)$

Первое частное решение соответствует первому слагаемому $f_{1} \left(t\right)=e^{t}$ в правой части уравнения, тогда

$y_{chastn\, 1} \left(t\right)=Ae^{t} \Rightarrow y'_{chastn\, 1} \left(t\right)=y''_{chastn\, 1} \left(t\right)=Ae^{t}$

Подставляем в уравнение:

$Ae^{t} -4Ae^{t} +4Ae^{t} =e^{t} \Rightarrow Ae^{t} =e^{t} \Rightarrow A=1$

Итак,

$y_{chastn\, 1} \left(t\right)=e^{t}$

Второе частное решение соответствует функции $f_{2} \left(t\right)=2$ , значит,

$y_{chastn\, 2} \left(t\right)=B\Rightarrow y'_{chastn\, 2} \left(t\right)=y''_{chastn\, 2} \left(t\right)=0$

Уравнение в этом случае принимает вид:

$0-4\cdot 0+4\cdot B=2\Rightarrow B=\frac{1}{2} \Rightarrow y_{chastn\, 2} \left(t\right)=\frac{1}{2}$

Таким образом, общее решение

$y\left(t\right)=y_{odn} \left(t\right)+y_{chastn} \left(t\right)=y_{odn} \left(t\right)+y_{chastn\, 1} \left(t\right)+y_{chastn\, 2} \left(t\right)=$

$=\left(C_{1} +C_{2} t\right)e^{2t} +e^{t} +\frac{1}{2}$

Делаем обратную замену и возвращаемся к переменной x:

$y\left(x\right)=\left(C_{1} +C_{2} \ln \left|x-2\right|\right)\left(x-2\right)^{2} +\left(x-2\right)+\frac{1}{2} =\left(C_{1} +C_{2} \ln \left|x-2\right|\right)\left(x-2\right)^{2} +x-\frac{3}{2}$

Ответ

$y\left(x\right)=\left(C_{1} +C_{2} \ln \left|x-2\right|\right)\left(x-2\right)^{2} +x-\frac{3}{2}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Дифференциальное уравнение Эйлера

Определение и формула дифференциального уравнения Эйлера

Примеры решения задач