Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение и формулы ДУ с разделяющимися переменными

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

    \[f_{1} \left(x\right)g_{1} \left(y\right)dy=f_{2} \left(x\right)g_{2} \left(y\right)dx \qquad (1)\]

или f_{1} \left(x\right)g_{1} \left(y\right)y'\left(x\right)=f_{2} \left(x\right)g_{2} \left(y\right). Эти уравнения являются самыми простыми уравнениями первого порядка.

Решение уравнения (1) можно получить, разделив переменные, для этого его обе части делятся на произведение f_{1} \left(x\right)g_{2} \left(y\right). Тогда исходное уравнение принимает вид:

    \[\frac{g_{1} \left(y\right)}{g_{2} \left(y\right)} dy=\frac{f_{2} \left(x\right)}{f_{1} \left(x\right)} dx\]

и его общий интеграл

    \[\int \frac{g_{1} \left(y\right)}{g_{2} \left(y\right)} dy =\int \frac{f_{2} \left(x\right)}{f_{1} \left(x\right)} dx \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР
Задание Найти решение уравнения y'=3^{2x-3y}
Решение Заданное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим их, для этого к правой части равенства применим свойство степеней:

    \[a^{x-y} =\frac{a^{x} }{a^{y} } \]

Тогда будем иметь:

    \[\frac{dy}{dx} =\frac{3^{2x} }{3^{3y} } \Rightarrow 3^{3y} dy=3^{2x} dx\]

Общий интеграл ДУ

    \[\int 3^{3y} dy =\int 3^{2x} dx \]

Находя интегралы, будем иметь:

    \[\frac{3^{3y} }{3\ln 3} =\frac{3^{2x} }{2\ln 3} +\frac{C}{6\ln 3} \]

Домножим последнее равенство на 6\ln 3, в результате получаем

    \[2\cdot 3^{3y} =3\cdot 3^{2x} +C\]

или

    \[2\cdot 27^{y} =3^{2x+1} +C\]

Ответ 2\cdot 27^{y} =3^{2x+1} +C
ПРИМЕР
Задание Решить уравнение \left(x^{2} +4\right)y'=2xy
Решение Данное уравнение относится к дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными, разделим их:

    \[\left(x^{2} +4\right)\cdot \frac{dy}{dx} =2xy\Rightarrow \frac{dy}{y} =\frac{2xdx}{x^{2} +4} \]

Общий интеграл уравнения

    \[\int \frac{dy}{y} =\int \frac{2xdx}{x^{2} +4} \]

Интегрируя, будем иметь:

    \[\ln \left|y\right|=\int \frac{2xdx}{x^{2} +4} =\int \frac{d\left(x^{2} +4\right)}{x^{2} +4} =\ln \left|x^{2} +4\right|+\ln \left|C\right|\]

    \[\ln \left|y\right|=\ln C\left(x^{2} +4\right)\Rightarrow y\left(x\right)=C\left(x^{2} +4\right)\]

Ответ y\left(x\right)=C\left(x^{2} +4\right)