Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Главная Справочник Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение и формулы ДУ с разделяющимися переменными

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

$f_{1} \left(x\right)g_{1} \left(y\right)dy=f_{2} \left(x\right)g_{2} \left(y\right)dx \qquad (1)$

или $f_{1} \left(x\right)g_{1} \left(y\right)y'\left(x\right)=f_{2} \left(x\right)g_{2} \left(y\right)$ . Эти уравнения являются самыми простыми уравнениями первого порядка.

Решение уравнения (1) можно получить, разделив переменные, для этого его обе части делятся на произведение $f_{1} \left(x\right)g_{2} \left(y\right)$ . Тогда исходное уравнение принимает вид:

$\frac{g_{1} \left(y\right)}{g_{2} \left(y\right)} dy=\frac{f_{2} \left(x\right)}{f_{1} \left(x\right)} dx$

и его общий интеграл

$\int \frac{g_{1} \left(y\right)}{g_{2} \left(y\right)} dy =\int \frac{f_{2} \left(x\right)}{f_{1} \left(x\right)} dx$

Примеры решения задач

ПРИМЕР

Задание

Найти решение уравнения $y'=3^{2x-3y}$

Решение

Заданное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим их, для этого к правой части равенства применим свойство степеней:

$a^{x-y} =\frac{a^{x} }{a^{y} }$

Тогда будем иметь:

$\frac{dy}{dx} =\frac{3^{2x} }{3^{3y} } \Rightarrow 3^{3y} dy=3^{2x} dx$

Общий интеграл ДУ

$\int 3^{3y} dy =\int 3^{2x} dx$

Находя интегралы, будем иметь:

$\frac{3^{3y} }{3\ln 3} =\frac{3^{2x} }{2\ln 3} +\frac{C}{6\ln 3}$

Домножим последнее равенство на $6\ln 3$ , в результате получаем

$2\cdot 3^{3y} =3\cdot 3^{2x} +C$

или

$2\cdot 27^{y} =3^{2x+1} +C$

Ответ

$2\cdot 27^{y} =3^{2x+1} +C$

ПРИМЕР

Задание

Решить уравнение $\left(x^{2} +4\right)y'=2xy$

Решение

Данное уравнение относится к дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными, разделим их:

$\left(x^{2} +4\right)\cdot \frac{dy}{dx} =2xy\Rightarrow \frac{dy}{y} =\frac{2xdx}{x^{2} +4}$

Общий интеграл уравнения

$\int \frac{dy}{y} =\int \frac{2xdx}{x^{2} +4}$

Интегрируя, будем иметь:

$\ln \left|y\right|=\int \frac{2xdx}{x^{2} +4} =\int \frac{d\left(x^{2} +4\right)}{x^{2} +4} =\ln \left|x^{2} +4\right|+\ln \left|C\right|$

$\ln \left|y\right|=\ln C\left(x^{2} +4\right)\Rightarrow y\left(x\right)=C\left(x^{2} +4\right)$

Ответ

$y\left(x\right)=C\left(x^{2} +4\right)$

Читайте также:

Однородные дифференциальные уравнения

Общее решение дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Однородные ДУ 1-ого порядка

© SolverBook - онлайн сервисы для учебы, 2015

Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения
администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.

Почта для связи: info@ru.solverbook.com

Выберите язык:

Сервисы

SolverBook