Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение и формулы однородных ДУ первого порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Однородным уравнением первого порядка называется уравнение вида

$y'=f\left(\frac{y}{x} \right) \qquad (1)$

ЗАМЕЧАНИЕ

Для проверки того факта, что дифференциальное уравнение первого порядка является однородным, нужно ввести некоторую величину k и заменить переменную y на $ky$ и переменную x на $kx$ . После упрощения полученного выражения, если k сократится, то исследуемое уравнение – однородное дифференциальное уравнение.

ЗАМЕЧАНИЕ

Производная $y'$ при таком преобразовании переменных не меняется:

$y'=\frac{dy}{dx} \to \frac{d\left(ky\right)}{d\left(kx\right)} =\frac{kdy}{kdx} =\frac{dy}{dx} =y'$

ПРИМЕР

Задание

Проверить, является ли дифференциальное уравнение $ydx+\left(2\sqrt{xy} -x\right)dy=0$ однородным.

Решение

Делаем замену, y в уравнении заменяем на $ky$ , а x – на $kx$ . Тогда заданное уравнение принимает вид:

$kyd\left(kx\right)+\left(2\sqrt{kx\cdot ky} -kx\right)d\left(ky\right)=0$

$ky\cdot kdx+\left(2\sqrt{k^{2} xy} -kx\right)\cdot kdy=0$

$k^{2} \cdot ydx+\left(2k\sqrt{xy} -kx\right)\cdot kdy=0$

$k^{2} \cdot ydx+k\left(2\sqrt{xy} -x\right)\cdot kdy=0$

$k^{2} \cdot ydx+k^{2} \cdot \left(2\sqrt{xy} -x\right)dy=0$

После деления на $k^{2}$ получаем исходное уравнение, не содержащее k:

$ydx+\left(2\sqrt{xy} -x\right)dy=0$

Таким образом, рассматриваемое уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Ответ

Уравнение является однородным

Уравнение вида (1) заменой

$z\left(x\right)=\frac{y\left(x\right)}{x}$

(или $y\left(x\right)=xz\left(x\right)$ ) сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой функции $z\left(x\right)$ :

$y'=f\left(\frac{y}{x} \right)\Rightarrow z+xz'=f\left(z\right)$

$x\cdot \frac{dz}{dx} =f\left(z\right)-z$

или

$\frac{dz}{f\left(z\right)-z} =\frac{dx}{x} ,\; f\left(z\right)-z\ne 0,\; x\ne 0$

Общий интеграл уравнения:

$\int \frac{dz}{f\left(z\right)-z} =\int \frac{dx}{x}$

Интеграл, стоящий в правой части, табличный, тогда:

$\int \frac{dz}{f\left(z\right)-z} =\ln \left|x\right|+\ln C\Rightarrow \int \frac{dz}{f\left(z\right)-z} =\ln Cx$

Необходимо рассмотреть еще особый случай $f\left(z\right)-z=0$ . Если это уравнение имеет корни, то они являются и решением уравнения $x\cdot \frac{dz}{dx} =f\left(z\right)-z$ . Но это уравнение не совпадает с исходным дифференциальным уравнением, поэтому надо убедиться, что решения уравнения $f\left(z\right)-z=0$ удовлетворяют исходному уравнению (1).

ЗАМЕЧАНИЕ

Каждый раз, когда в процессе преобразования уравнения происходит деление на некоторую функцию $g\left(x;\; y\right)$ , то дальнейшие преобразования справедливы лишь при предположении, что $g\left(x;\; y\right)\ne 0$ . Поэтому следует отдельно рассматривать случай, когда $g\left(x;\; y\right)=0$ .

Примеры решения задач

ПРИМЕР

Задание

Решить дифференциальное уравнение $xy'=y+\sqrt{y^{2} -x^{2} }$

Решение

Вначале проверим, является ли данное уравнение однородным. Для этого заменяем y на $ky$ , x – на $kx$ :

$kx\cdot y'=ky+\sqrt{\left(ky\right)^{2} -\left(kx\right)^{2} }$

$kx\cdot y'=ky+\sqrt{k^{2} y^{2} -k^{2} x^{2} } , kx\cdot y'=ky+\sqrt{k^{2} \left(y^{2} -x^{2} \right)}$

$kx\cdot y'=ky+k\sqrt{y^{2} -x^{2} } , kx\cdot y'=k\left(y+\sqrt{y^{2} -x^{2} } \right)$

После сокращения на k приходим к исходному уравнению $xy'=y+\sqrt{y^{2} -x^{2} }$ . Поэтому это уравнение является однородным.

Найдем теперь решение исходного дифференциального уравнения. Делаем подстановку

$y\left(x\right)=xz\left(x\right)\Rightarrow y'=z+xz'$

После подстановки в уравнение, будем иметь:

$x\cdot \left(z+xz'\right)=xz+\sqrt{\left(xz\right)^{2} -x^{2} }$

$xz+x^{2} z'=xz+\sqrt{x^{2} z^{2} -x^{2} }$

$x^{2} z'=\sqrt{x^{2} \left(z^{2} -1\right)}$

$x^{2} z'=\left|x\right|\sqrt{z^{2} -1} \Rightarrow x^{2} z'=\pm x\sqrt{z^{2} -1}$

$xz'=\pm \sqrt{z^{2} -1} \Rightarrow x\cdot \frac{dz}{dx} =\pm \sqrt{z^{2} -1}$

Получили уравнение с разделяющимися переменными, разделим их. Для этого последнее равенство умножаем на $\pm \frac{dx}{x\sqrt{z^{2} -1} }$ . В результате получаем (считая, что $x\left(z^{2} -1\right)\ne 0$ ):

$\pm xz'=\sqrt{z^{2} -1} \Rightarrow \pm \frac{dz}{\sqrt{z^{2} -1} } =\frac{dx}{x}$

Общий интеграл уравнения:

$\pm \int \frac{dz}{\sqrt{z^{2} -1} } =\int \frac{dx}{x}$

Записанные интегралы табличные, поэтому можем записать, что

$\pm \ln \left|z+\sqrt{z^{2} -1} \right|=\ln \left|x\right|+\ln \left|C\right|$

или

$\pm \ln \left|z+\sqrt{z^{2} -1} \right|=\ln \left|Cx\right| \qquad (2)$

Преобразуем левую часть последнего равенства. Выражения $z+\sqrt{z^{2} -1}$ и $z-\sqrt{z^{2} -1}$ являются взаимно обратными, поскольку их произведение равно единице:

$\left(z+\sqrt{z^{2} -1} \right)\left(z-\sqrt{z^{2} -1} \right)=z^{2} -\left(z^{2} -1\right)=1$

А тогда, прологарифмировав равенство $\left|\left(z+\sqrt{z^{2} -1} \right)\left(z-\sqrt{z^{2} -1} \right)\right|=\left|1\right|$ , будем иметь:

$\ln \left|\left(z+\sqrt{z^{2} -1} \right)\left(z-\sqrt{z^{2} -1} \right)\right|=\ln 1$

$\ln \left|z+\sqrt{z^{2} -1} \right|+\ln \left|z-\sqrt{z^{2} -1} \right|=0$

Откуда

$\ln \left|z+\sqrt{z^{2} -1} \right|=-\ln \left|z-\sqrt{z^{2} -1} \right|$

Итак, можно сделать вывод, что

$\pm \ln \left|z+\sqrt{z^{2} -1} \right|=\ln \left|z\pm \sqrt{z^{2} -1} \right|$

Таким образом, решение (2) принимает вид:

$\ln \left|z\pm \sqrt{z^{2} -1} \right|=\ln \left|Cx\right|\Rightarrow z\pm \sqrt{z^{2} -1} =Cx$

Делаем обратную замену:

$y=xz\Rightarrow z=\frac{y}{x}$

Будем иметь:

$\frac{y}{x} \pm \sqrt{\left(\frac{y}{x} \right)^{2} -1} =Cx$

После упрощения, приводим к виду:

$\frac{y}{x} \pm \sqrt{\frac{y^{2} -x^{2} }{x^{2} } } =Cx\Rightarrow \frac{y}{x} \pm \frac{\sqrt{y^{2} -x^{2} } }{\left|x\right|} =Cx\Rightarrow$

$\Rightarrow \frac{y}{x} +\frac{\sqrt{y^{2} -x^{2} } }{x} =Cx\Rightarrow y+\sqrt{y^{2} -x^{2} } =Cx^{2}$

Итак, получили общее решение

$y+\sqrt{y^{2} -x^{2} } =Cx^{2}$

Далее рассмотрим случай, когда $z^{2} -1=0$ . Корни этого уравнения

$z^{2} =1\Rightarrow \left(\frac{y}{x} \right)^{2} =1\Rightarrow \frac{y}{x} =\pm 1\Rightarrow y=\pm x$

Проверим, удовлетворяют ли найденные функции исходному дифференциальному уравнению $xy'=y+\sqrt{y^{2} -x^{2} }$ :

$x\cdot \left(\pm x\right)^{{'} } =\pm x+\sqrt{\left(\pm x\right)^{2} -x^{2} }$

$x\cdot \left(\pm 1\right)=\pm x+\sqrt{x^{2} -x^{2} } \Rightarrow \pm x=\pm x$

Получили верное равенство, а это означает, что функции $y=\pm x$ удовлетворяют уравнению, то есть является его решением.

Ответ

$y+\sqrt{y^{2} -x^{2} } =Cx^{2} ; \quad y=\pm x$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение и формулы однородных ДУ первого порядка

Примеры решения задач